Trigonométrie

Un article de Wiki SILLAGES.

Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

On pourra également consulter les fonctions trigonométriques.

Sommaire

1 Définitions
2 Formules de base
3 Lignes trigonométriques usuelles
4 Symétries
5 Formules d’addition
6 Formules de duplication
7 Transformation de produits en sommes (linéarisation)
8 Transformation de sommes en produits

Définitions

A tout réel $\theta$ on associe l’unique point $M$ du cercle trigonométrique tel que $\theta$ soit une mesure de l’angle $(\vec u, \vec{OM})$ . Alors :

$\cos\theta$ est l’abscisse du point $M$ .

$\sin\theta$ est l’ordonnée du point $M$ .

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ et $\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Formules de base

${\cos}^2\theta+{\sin}^2\theta=1$

$\dfrac{1}{{\cos}^2\theta}=1+{\tan}^2\theta$

$\dfrac{1}{{\sin}^2\theta}=1+{\cot}^2\theta$

Lignes trigonométriques usuelles

$\theta$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\cos\theta$	$1$	$\dfrac{\sqrt 3}{2}$	$\dfrac{\sqrt 2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin\theta$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt 2}{2}$	$\dfrac{\sqrt 3}{2}$	$1$
$\tan\theta$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt 3}$	$1$	$\sqrt 3$	$-$
$\cot\theta$	$-$	$\sqrt 3$	$1$	$\dfrac{1}{\sqrt 3}$	$0$

Symétries

$\cos(-\theta)=\cos\theta \quad \quad \quad \quad \quad \sin(-\theta)=-\sin\theta \quad \quad \quad \quad \quad \tan(-\theta)=-\tan\theta$

$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta \quad \quad \quad \sin(\pi-\theta)=\sin\theta \quad \quad \quad \quad \quad \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$

$\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta \quad \quad \quad \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta \quad \quad \quad \quad \tan(\pi+\theta)=\tan\theta$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta \quad \quad \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta \quad \quad \quad \quad \tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta \quad \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta \quad \quad \quad \quad \tan\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\cot\theta$