Suites usuelles

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Suites arithmétiques
2 Suites géométriques
3 Suites arithmético-géométriques
4 Suites vérifiant une récurrence linéaire d’ordre 2

Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $b$ (appelé raison de la suite) tel que : $\forall n\in\mathbb N\quad u_{n+1}=u_n+b$ .

Alors son terme général est : $\forall n\in\mathbb N\quad u_n=u_0+nb$ .

Pour tous les entiers $n$ et $p$ : $u_n=u_p+(n-p)b$ .

Pour tous les entiers $p\leq n$ : $\sum_{k=p}^{n}u_k=(n-p+1)\dfrac{u_p+u_n}{2}$

Suites géométriques

Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel $a$ (appelé raison de la suite) tel que : $\forall n\in\mathbb N\quad u_{n+1}=au_n$ .

Alors son terme général est : $\forall n\in\mathbb N\quad u_n=a^nu_0$ .

Pour tous les entiers $n$ et $p$ : $u_n=a^{n-p}u_p$ .

Pour tous les entiers $p\leq n$ : $\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p\dfrac{1-a^{n-p+1}}{1-a} \quad \mathrm {si}\quad a\neq 1$ .

Convergence de $a^n$

$a\leq -1$	$-1<a<1$	$a=1$	$a>1$
Pas de limite	$\lim_{n\rightarrow +\infty}a^n=0$	$\lim_{n\rightarrow +\infty}a^n=1$	$\lim_{n\rightarrow +\infty}a^n=+\infty$

Suites arithmético-géométriques

Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique s’il existe des réels $a\neq 0$ et $b$ tels que $\forall n\in\mathbb N\quad u_{n+1}=au_n+b$ .

Si $a\neq 1$ , il existe un unique réel $\alpha$ (point fixe) tel que $\alpha=a\alpha+b$ .

Alors, la suite de terme général $v_n=u_n-\alpha$ est géométrique de raison $a$ . On en déduit $v_n$ , puis $u_n$ en fonction de $n$ .

Suites vérifiant une récurrence linéaire d’ordre 2

Une suite $(u_n)$ suit une relation linéaire de récurrence d’ordre 2 s’il existe deux réels $a\neq 0$ et $b$ tels que: $\forall{n\in\mathbb N}\quad u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ .

L’équation $x^2=ax+b$ est appelée équation caractéristique associée à la relation de récurrence.

Elle équivaut à $x^2-ax-b=0$ . Son discriminant est $\Delta=a^2+4b$ .

Premier cas: $\Delta>0$

L’équation caractéristique possède deux racines distinctes $q_1$ et $q_2$ .

Alors il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : $\forall{n\in\mathbb N}\quad u_n=\alpha(q_1)^n+\beta(q_2)^n$ .

On détermine les réels $\alpha$ et $\beta$ à l’aide des conditions initiales.

Deuxième cas : $\Delta=0$

L’équation caractéristique possède une racine double $q$ .

Alors il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : $\forall{n\in\mathbb N}\quad u_n=(\alpha n+\beta)q^n$ .

On détermine les réels $\alpha$ et $\beta$ à l’aide des conditions initiales.

Troisième cas: $\Delta<0$

L’équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées que l’on met sous forme trigonométrique : $q_1=re^{i\theta}$ et $q_2=re^{-i\theta}$ .