Suites numériques

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Définition
2 Sens de variations
3 Bornes d’une suite
4 Suite convergente
5 Suite divergente
6 Compatibilité avec l’ordre
7 Théorème d’encadrement
8 Opérations algébriques sur les limites
9 Image d’une suite par une fonction
10 Convergence des suites monotones
11 Suites adjacentes
12 Négligeabilité
- 12.1 Négligeabilités usuelles
- 12.2 Propriétés
13 Equivalence
- 13.1 Equivalences usuelles
- 13.2 Propriétés

Définition

Une suite numérique est une application de $\mathbb N$ ou $\mathbb N^*$ dans $\mathbb R$ .

La suite de terme général $u_n$ (image de l’entier $n$ ) est notée $(u_n)$ .

Sens de variations

La suite $(u_n)$ est croissante si : $\forall{n\in\mathbb N}\quad u_{n+1}-u_n\geq 0$ .

La suite $(u_n)$ est décroissante si: $\forall{n\in\mathbb N}\quad u_{n+1}-u_n\leq 0$ .

Si la suite est à termes positifs : La suite $(u_n)$ est croissante ssi : $\forall{n\in\mathbb N}\quad\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1$ et décroissante ssi : $\forall{n\in\mathbb N}\quad\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$

Bornes d’une suite

La suite est majorée s’il existe un réel $M$ tel que : $\forall{n\in\mathbb N}\quad u_n\leq M$ .

La suite est minorée s’il existe un réel $m$ tel que : $\forall{n\in\mathbb N}\quad u_n\geq m$ .

La suite est bornée si elle est majorée et minorée.

Suite convergente

La suite $(u_n)$ est convergente si elle admet une limite réelle.

$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=l\quad\mathrm{si}\quad\forall{\epsilon>0}\quad\exists n_0\quad\forall{n\geq n_0\quad|u_n-l|<\epsilon}$

Suite divergente

La suite est divergente si elle n’est pas convergente. Il y a deux cas : le terme général tend vers $\pm\infty$ ou bien il n’a pas de limite.

$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty\quad\mathrm{si}\quad\forall{A>0}\quad\exists n_0\quad\forall{n\geq n_0\quad u_n>A$

Compatibilité avec l’ordre

Si, à partir d’un certain rang, $u_n\leq v_n$ et :

si les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $l$ et $l'$ (réels), alors $l\leq l'$ (inégalité large même si l’inégalité sur les termes généraux est stricte)
si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ , alors $(v_n)$ diverge vers $+\infty$ .
si $(v_n)$ diverge vers $-\infty$ , alors $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ .

Théorème d’encadrement

Si, à partir d’un certain rang, $v_n\leq u_n\leq w_n$ et si les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes vers le même réel $l$ , alors la suite $(u_n)$ est convergente et sa limite est $l$ .

Opérations algébriques sur les limites

$u_n$	$v_n$	$u_n+v_n$
$l$	$l'$	$l+l'$
$+\infty$	$l'$	$+\infty$
$-\infty$	$l'$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$-\infty$	Indétermination

$u_n$	$v_n$	$u_nv_n$
$l$	$l'$	$ll'$
$\infty$	$l'\neq 0$	$\infty$
$+\infty$	$0$	Indétermination
$\infty$	$\infty$	$\infty$

$u_n$	$v_n$	$u_n/v_n$
$l$	$l'\neq 0$	$l/l'$
$l\neq 0$	$0$	$\infty$
$0$	$0$	Indétermination
$\infty$	$l'$	$\infty$
$l$	$\infty$	$0$
$\infty$	$\infty$	Indétermination

Image d’une suite par une fonction

( $l$ et $L$ réels ou infinis)

Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ telle que $\lim_{x\rightarrow l}f(x)=L$ et si $(u_n)$ est une suite d’éléments de $I$ qui a pour limite $l$ , alors la suite de terme général $f(u_n)$ a pour limite $L$ .

Convergence des suites monotones

Toute suite croissante majorée est convergente et sa limite est un majorant. Si elle n’est pas majorée, elle diverge vers $+\infty$ .

Toute suite décroissante minorée est convergente et sa limite est un minorant. Si elle n’est pas minorée, elle diverge vers $-\infty$ .

Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante, et si $\lim_{n\rightarrow +\infty}(v_n-u_n)=0$ .

Alors les deux suites sont convergentes et ont la même limite.

Négligeabilité

$(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ , noté $u_n=o(v_n)$ , s’il existe une suite $(\epsilon_n)$ qui vérifie $\forall{n\in\mathbb N}\quad u_n=\epsilon_nv_n\quad\mathrm{et}\quad\lim_{n\rightarrow +\infty}\epsilon_n=0$ .

Si $v_n\neq 0$ à partir d’un certain rang, $u_n=o(v_n)$ si et seulement si $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=0$ .

Si $u_n=o(v_n)$ et si la suite $(v_n)$ est convergente, alors la suite $(u_n)$ converge vers 0.

Négligeabilités usuelles

$n^\alpha=o(n^\beta)$ si $0\leq\alpha<\beta$
$(\ln n)^\alpha=o(n^\beta)$ si $\alpha\geq 0\quad\mathrm{et}\quad\beta>0$
$n^\alpha=o(e^{\beta n})$ si $\alpha\geq 0\quad\mathrm{et}\quad\beta>0$
$n^\alpha=o(a^n})$ si $\alpha\geq 0\quad\mathrm{et}\quad a>1$

Propriétés

Si $u_n=o(v_n)$ et $v_n=o(w_n)$ , alors $u_n=o(w_n)$
Si $u_n=o(v_n)$ , alors $u_nw_n=o(v_nw_n)$
Si $u_n=o(v_n)$ et $u'_n=o(v_n)$ , alors $u_n+u'_n=o(v_n)$
Si $u_n=o(v_n)$ et $u'_n=o(v'_n)$ , alors $u_nu'_n=o(v_nv'_n)$
Si $u_n=o(v_n)$ et $\alpha>0$ , alors $|u_n|^\alpha=o(|v_n|^\alpha)$

Mais la relation de négligeabilité n’est compatible ni avec la division (et donc les puissances négatives) ni avec la composition.

Equivalence

$(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ , noté $u_n\sim v_n$ , s’il existe une suite $(\epsilon_n)$ qui vérifie $\forall{n\in\mathbb N}\quad u_n=v_n(1+\epsilon_n)\quad\mathrm{et}\quad\lim_{n\rightarrow +\infty}\epsilon_n=0$

Si $v_n\neq 0$ à partir d’un certain rang, $u_n\sim v_n$ si et seulement si $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1$

Si $u_n\sim v_n$ , alors les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont de même nature et admettent la même limite.

Equivalences usuelles

En $+\infty$ , un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré et une fraction rationnelle est équivalente au quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.
Si $\lim_{n\rigtharrow +\infty}u_n=l(\neq 0)$ , alors $u_n\sim l$
Si , alors :
- $\ln(1+u_n)\sim u_n$
- $e^{u_n}-1\sim u_n$
- $(1+u_n)^\alpha-1\sim\alpha u_n$
- $\sin u_n\sim u_n$
- $\tan u_n\sim u_n$
- $1-\cos u_n\sim\dfrac{1}{2}{u_n}^2$
Si $\lim_{n\rigtharrow +\infty}u_n=1$ , alors $\ln u_n\sim u_n-1$

Propriétés

$u_n\sim v_n$ si et seulement si $u_n-v_n=o(v_n)$ . On écrit $u_n=v_n+o(v_n)$
$u_n\sim v_n$ , alors $v_n\sim u_n$
$u_n\sim v_n$ et $v_n\sim w_n$ , alors $u_n\sim w_n$
$u_n\sim v_n$ , alors $u_nw_n\sim v_nw_n$
$u_n\sim v_n$ et $u'_n\sim v'_n$ , alors $u_nu'_n\sim v_nv'_n$
$u_n\sim v_n$ et $u'_n\sim v'_n$ , alors $\dfrac{u_n}{u'_n}\sim\dfrac{v_n}{v'_n}$
$u_n\sim v_n$ , alors $|u_n|^\alpha\sim|v_n|^\alpha$