Sommes et produits

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Propriétés des sommes

\sum_{k=p}^{n}\lambda u_k=\lambda\sum_{k=p}^{n}u_k

\sum_{k=p}^{n}(u_k+v_k)=\sum_{k=p}^{n}u_k+\sum_{k=p}^{n}v_k

Si p\leq q<n : \sum_{k=p}^{n}u_k=\sum_{k=p}^{q}u_k+\sum_{k=q+1}^{n}u_k

\sum_{k=p}^{n}a=a(n-p+1)

\sum_{k=p}^{n}(u_{k+1}-u_k)=u_{n+1}-u_p

Sommes usuelles

\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}

\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

\sum_{k=1}^{n}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}

\sum_{k=0}^{n}x^k=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} si x\neq 1

Conséquence : \sum_{k=0}^{n}kx^{k-1}=S'_n(x) et \sum_{k=0}^{n}k(k-1)x^{k-2}=S''_n(x) en dérivant S_n(x)=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} si x\neq 1

Propriétés des produits

\prod_{k=p}^{n}\lambda u_k=\lambda ^{n-p+1}\prod_{k=p}^{n}u_k

\prod_{k=p}^{n}(u_k v_k)=\left(\prod_{k=p}^{n}u_k\right)\left(\prod_{k=p}^{n}v_k\right)

Si p\leq q<n : \prod_{k=p}^{n}u_k=\left(\prod_{k=p}^{q}u_k\right)\left(\prod_{k=q+1}^{n}u_k\right)

\prod_{k=p}^{n}a=a^{n-p+1}

\prod_{k=p}^{n}\dfrac{u_{k+1}}{u_k}=\dfrac{u_{n+1}}{u_p}

Produit usuel

\prod_{k=1}^{n}k=n!

Propriétés : (n+1)!=(n+1)\times n! et 0!=1


--CatherineLaidebeure 13 juillet 2010 à 15:03 (CEST)

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