Séries numériques

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Avant d'aborder cet article on pourra consulter l'article sur les suites numériques

Sommaire

1 Définition
2 Sommes partielles d’une série
3 Série convergente
4 Série divergente
5 Propriétés
6 Séries à termes positifs
7 Convergence absolue
8 Séries géométriques et leurs séries dérivées
9 Séries exponentielles
10 Séries de Riemann

Définition

Soit $(u_n)$ une suite numérique. On appelle série numérique de terme général $u_n$ , notée $(\sum u_n)$ , la suite de terme général $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$ .

Sommes partielles d’une série

La somme partielle d’ordre $n$ de la série $(\sum u_n)$ est $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$ .

Série convergente

La série $(\sum u_n)$ est convergente si la suite $(S_n)$ est convergente.

Sa limite est appelée somme de la série et notée : $S=\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n}u_k$ .

La somme $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k=S-S_n$ est le reste d'ordre $n$ de la série.

Série divergente

La série $(\sum u_n)$ est divergente si elle n’est pas convergente.

Propriétés

Une condition nécessaire, mais pas suffisante pour que la série soit convergente est : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$ .

Conséquence : si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n\neq 0$ , la série est divergente.

On ne change pas la nature d’une série en supprimant les premiers termes. Mais on change sa somme.

Si $\lambda\in\mathbb R^*$ , les séries $(\sum u_n)$ et $(\sum\lambda u_n)$ ont même nature.

Si $(\sum u_n)$ est une série convergente, les séries $(\sum v_n)$ et $(\sum[u_n+v_n])$ sont de même nature.

Séries à termes positifs

La série à termes positifs $(\sum u_n)$ converge si et seulement si la suite $(S_n)$ est majorée.
La série à termes positifs $(\sum u_n)$ diverge si et seulement si $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_n=+\infty$ .
Si, à partir d'un certain rang, :
- si la série $(\sum v_n)$ converge, alors la série $(\sum u_n)$ converge.
- si la série $(\sum u_n)$ diverge, alors la série $(\sum v_n)$ diverge.
Si $u_n\sim v_n$ , les séries à termes positifs $(\sum u_n)$ et $(\sum v_n)$ sont de même nature.