Réduction des endomorphismes

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Valeurs propres d’un endomorphisme
2 Valeurs propres d’une matrice
3 Propriétés
4 Sous espace propre associé à une valeur propre
5 Vecteurs propres d’un endomorphisme
6 Vecteurs propres d’une matrice
7 Diagonalisation d’un endomorphisme
8 Diagonalisation des matrices carrées d’ordre n

Valeurs propres d’un endomorphisme

Un scalaire $\lambda$ est valeur propre d’un endomorphisme $f$ de $E$ s’il existe un vecteur $v$ de $E$ non nul tel que $f(v)=\lambda v$ .

0 est valeur propre de $f$ si et seulement si $\mathrm{Ker}f\neq\{0_E\}$ . Donc un endomorphisme est bijectif si et seulement si 0 n’est pas valeur propre.

Valeurs propres d’une matrice

Un scalaire $\lambda$ est valeur propre d’une matrice $A$ s’il existe une matrice colonne $X$ non nulle telle que $AX=\lambda X$ .

Si $f$ est un endomorphisme d’un espace $E$ de dimension finie, un scalaire $\lambda$ est valeur propre de $f$ si et seulement si il est valeur propre de sa matrice $A$ dans une base (quelconque) de $E$ .

Toutes les matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.

Les valeurs propres d’une matrice diagonale ou triangulaire sont ses éléments diagonaux.

Propriétés

Un scalaire $\lambda$ est valeur propre d’une matrice $A$ , ou d’un endomorphisme $f$ de matrice $A$ dans un espace $E$ de dimension finie, si et seulement si la matrice $(A-\lambda I)$ n’est pas inversible ( $I$ est la matrice identité).

Si $\lambda$ est valeur propre d’un endomorphisme $f$ de $E$ , alors pour tout entier $k$ , $\lambda ^k$ est valeur propre de $f^k=f\circ ...\circ f$ ( $k$ fois).

S’il existe un polynôme $P$ tel que $P(f)=0$ ou $P(A)=0$ , alors les valeurs propres de $f$ ou de $A$ sont racines du polynôme P (mais toutes les racines de $P$ ne sont pas forcément des valeurs propres).

Sous espace propre associé à une valeur propre

On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$ d’un endomorphisme $f$ de $E$ l’ensemble : $E_{\lambda}=\{u\in E/f(u)=\lambda u\}$ .

$E_{\lambda}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ distinct de $\{0_E\}$ : $\dim E_{\lambda}\geq 1$ .

Si 0 est valeur propre de $f$ , alors $E_0=\mathrm{Ker}f$ .

Si l'endomorphisme $f$ a deux valeurs propres distinctes $\lambda_1$ et $\lambda_2$ , alors : $E_{\lambda_1}\cap E_{\lambda_2}=\{0_E\}$ .

Vecteurs propres d’un endomorphisme

Un vecteur $v$ de $E$ est vecteur propre d’un endomorphisme $f$ de $E$ s’il est non nul et s’il existe un scalaire $\lambda$ tel que $f(v)=\lambda v$ .

On dira que $v$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$ . Pour chaque valeur propre, il existe une infinité de vecteurs propres : tous les vecteurs de $E_{\lambda}$ sauf $0_E$ .

Si $f$ a $p$ valeurs propres distinctes $\lambda_1,..., \lambda_p$ et si $v_1, ..., v_p$ sont des vecteurs propres associés, alors la famille $(v_1, ..., v_p)$ est libre.

Conséquence : Un endomorphisme d’un espace de dimension $n$ possède au plus $n$ valeurs propres distinctes.

Vecteurs propres d’une matrice

Une matrice colonne $X$ est vecteur propre d’une matrice $A$ s’il est non nul et s’il existe un réel $\lambda$ tel que $AX=\lambda X$ .

On dira que $X$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$ .

Diagonalisation d’un endomorphisme

Un endomorphisme est diagonalisable s’il existe une base de $E$ formée par des vecteurs propres de $f$ .

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il existe une base sur laquelle sa matrice est diagonale.

Un endomorphisme de $E$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de $E$ .

Cas particulier : Si $f$ est un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension $n$ qui possède $n$ valeurs propres distinctes, alors $f$ est diagonalisable.

Diagonalisation des matrices carrées d’ordre n

Une matrice $A$ est diagonalisable s’il existe une matrice $P$ inversible telle que la matrice $D=P^{-1}AP$ soit diagonale.

Une matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si l’endomorphisme associé est diagonalisable.

$D$ est la matrice diagonale dont la diagonale est formée par les valeurs propres de $A$ , et $P$ est une matrice dont les vecteurs colonnes sont des vecteurs propres de $A$ (dans le même ordre) qui forment une base de $\mathcal M_{n,1}(K)$ .