Primitives

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Définition
2 Existence
3 Unicité
4 Primitives usuelles
5 Opérations algébriques sur les primitives
6 Primitives obtenues par composition de fonction
7 Interprétation géométrique
8 Expression d’une primitive

Définition

Une fonction $F$ est primitive d’une fonction $f$ sur un intervalle $J$ si $F$ est dérivable sur $J$ et si :

$\forall{x\in J\quad F'(x)=f(x)}$ .

Existence

Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $J$ admet une infinité de primitives sur $J$ . Elles sont toutes obtenues à partir de l’une d’entre elles en ajoutant des constantes.

Unicité

Etant donnée une fonction $f$ continue sur un intervalle $J$ , un réel $a\in J$ et un réel $b$ quelconque, il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $J$ qui vérifie $F(a)=b$ .

Primitives usuelles

$f(x)=c$	$F(x)=cx+k$
$f(x)=x^\alpha\quad(\alpha\neq -1)$	$F(x)=\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+k$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$	$F(x)=\ln\|x\|+k$
$f(x)=e^x$	$F(x)=e^x+k$
$f(x)=\sin x$	$F(x)=-\cos x+k$
$f(x)=\cos x$	$F(x)=\sin x+k$
$f(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x$	$F(x)=\tan x+k$
$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$	$F(x)=\mathrm{Arctan}x+k$
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \mathrm{Arcsin}x+k \\ -\mathrm{Arccos}x+k \\ \end{array} \right.$

Opérations algébriques sur les primitives

$f=u+v$	$F=U+V+k$
$f=\lambda u$	$F=\lambda U+k$

où $U$ et $V$ sont des primitives des fonctions $u$ et $v$ .

Primitives obtenues par composition de fonction

$f=u'u^\alpha\quad(\alpha\neq -1)$	$F=\dfrac{1}{\alpha+1}u^{\alpha+1}+k$
$f=\dfrac{u'}{u}$	$F=\ln\|u\|+k$
$f=u'e^u$	$F=e^u+k$
$f=u'\sin u$	$F=-\cos u+k$
$f=u'\cos u$	$F=\sin u+k$
$f=\dfrac{u'}{\cos^2u}=u'(1+\tan^2u)$	$F=\tan u+k$
$f=\dfrac{u'}{1+u^2}$	$F=\mathrm{Arctan}u+k$
$f=\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$	$F=\left\{ \begin{array}{ll} \mathrm{Arcsin}u+k \\ -\mathrm{Arccos}u+k \\ \end{array} \right.$

Interprétation géométrique

Si $f$ est une fonction continue et positive sur l’intervalle $[a,b]$ (avec $a<b$ ), la fonction $F$ qui, à tout réel $t$ de $[a,b]$ , associe l’aire de la partie de plan située sous la courbe de $f$ et limitée par l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=t$ , c’est-à-dire l’aire de $D=\{M(x,y)/a\leq x\leq t\quad\mathrm{et}\quad 0\leq y\leq f(x)\}$ , est une primitive de la fonction $f$ sur $[a,b]$ .

Expression d’une primitive

Si $f$ est continue sur un intervalle $J$ et si $a\in J$ , alors la fonction $F$ définie par : $\forall{x\in J}\quad F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $J$ qui s'annule en $a$ .