Polynômes

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Définitions
2 Degré d’un polynôme
3 Egalité de deux polynômes
4 Division euclidienne
5 Racines d’un polynôme
6 Ordre de multiplicité d’une racine
7 Formule de Taylor
8 Théorème de D’Alembert-Gauss
9 Polynômes irréductibles
10 Factorisation d’un polynôme non constant

Définitions

On note $K=\mathbb R$ ou $K=\mathbb C$ , et $X$ la fonction $x\mapsto x$ .

Un monôme sur $K$ est de la forme $aX^k$ où $k\in \mathbb N$ et $a\in K$ .

Un polynôme $P$ sur $K$ est une somme finie de monômes.

Si le polynôme $P$ n’est pas nul, il existe un unique $n\in \mathbb N$ et un unique $(a_0, ..., a_n)\in K^{n+1}$ avec $a_n\neq 0$ tels que : $P=a_0+a_1X+...+a_nX^n$ .

$(a_0, ..., a_n)$ sont les coefficients de $P$ et $a_n$ son coefficient dominant.

$K[X]$ est l’ensemble des polynômes à coefficients dans $K$ .

Degré d’un polynôme

Si $P$ est non nul, $n$ est unique et s’appelle le degré de $P$ . Par convention, le polynôme nul a pour degré $-\infty$ .

$d^o(P+Q)\leq\mathrm Max(d^oP,d^oQ)$

$d^o(PQ)=d^oP+d^oQ$

$d^o(P\circ Q)=d^oP\times d^oQ$

$d^oP'=d^oP-1$ si $P'\neq 0$

$K_n[X]$ est l'ensemble des polynômes $P\in K[X]$ tels que $d^oP\leq n$ .

Egalité de deux polynômes

Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients.

Division euclidienne

Si $A$ et $B$ appartiennent à $K[X]$ et $B\neq 0$ , il existe un unique couple $(Q,R)$ de polynômes de $K[X]$ tels que $A=BQ+R$ et $d^oR<d^oB$ .

Si $R=0$ , $A$ est divisible par $B$ ou multiple de $B$ , et $B$ est diviseur de $A$ .

Racines d’un polynôme

Un élément $\alpha\in K$ est racine du polynôme $P$ si $P(\alpha)=0$ .

$\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $P$ est divisible par $X-\alpha$ .

Ordre de multiplicité d’une racine

$\alpha$ est racine d’ordre $m$ de $P$ si $P$ est divisible par $(X-\alpha)^m$ , mais pas par $(X-\alpha)^{m+1}$ : $P=(X-\alpha)^mQ$ avec $Q(\alpha)\neq 0$ et $d^oQ=d^oP-m$ .

$\alpha$ est racine multiple d’ordre $m$ du polynôme $P$ si et seulement si : $\forall{k\in[\![0,m-1]\!]}\quad P^{(k)}(\alpha)=0\quad\mathrm{et}\quad P^{(m)}(\alpha)\neq 0$ .

Formule de Taylor

$\forall{P\in K_n[X]}\quad\forall{\alpha\in K}\quad P(X)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^k$ .

Théorème de D’Alembert-Gauss

Tout polynôme non constant admet au moins une racine dans $\mathbb C$ .

Conséquence 1 : Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes.

Conséquence 2 : Un polynôme $P\in K_n[X]$ qui s’annule au moins $(n+1)$ fois est le polynôme nul.

Polynômes irréductibles

Un polynôme $A$ non constant est irréductible dans $K[X]$ s’il n’admet pas de diviseur $B$ dans $K[X]$ tel que $1\leq d^oB<d^oA$ .

Dans $\mathbb C[X]$ , les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1.

Dans $\mathbb R[X]$ , les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 avec $\Delta<0$ .

Factorisation d’un polynôme non constant

Dans $\mathbb C[X]$ , tout polynôme $P$ non constant admet une factorisation de la forme : $P(X)=a\prod(X-\alpha_k)^{m_k}$ où $a$ est le coefficient dominant de $P$ et où les $\alpha_k$ sont toutes les racines complexes distinctes de $P$ avec leur ordre de multiplicité $m_k$ .

Si $P\in\mathbb R[X]$ , ses racines dans $\mathbb C$ sont soit réelles soit complexes conjuguées avec le même ordre de multiplicité.

En calculant $(X-\alpha)(X-\overline\alpha)$ on obtient un polynôme de $\mathbb R[X]$ de la forme $X^2+bX+c$ avec un discriminant négatif.

Donc dans $\mathbb R[X]$ , tout polynôme $P$ non constant admet une factorisation de la forme : $P(X)=a\left(\prod(X-\alpha_k)^{m_k}\right)\left(\prod(X^2+b_jX+c_j)^{m_j}\right)$ où $a$ est le coefficient dominant de $P$ , où les $\alpha k$ sont toutes les racines réelles distinctes de $P$ avec leur ordre de multiplicité $m_k$ , et où les polynômes $X^2+b_jX+c_j$ ont un discriminant négatif et ont pour racines les racines complexes conjuguées de $P$ , avec leur ordre de multiplicité $m_j$ .