Nombres complexes

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Ensemble des nombres complexes
2 Forme algébrique
3 Nombre complexe conjugué
4 Module d’un nombre complexe
5 Argument d’un nombre complexe non nul
6 Notation exponentielle
7 Forme trigonométrique d’un complexe non nul
8 Formules d’Euler
9 Formule de Moivre
10 Racines n-èmes d’un complexe non nul

Ensemble des nombres complexes

L’ensemble $\mathbb C$ est muni de deux opérations internes (addition et multiplication).

Il a une structure de corps commutatif.

Il possède un élément noté $i$ qui vérifie $i^2=-1$ .

Il ne possède pas de relation d’ordre compatible avec les opérations.

Forme algébrique

$\forall{z\in\mathbb C}\quad\exists !(x,y)\in{\mathbb R}^2\quad z=x+iy$ .

$x=\mathrm {Re}(z)$ est sa partie réelle et $y=\mathrm {Im}(z)$ est sa partie imaginaire.

$z$ est réel ssi $y=\mathrm {Im}(z)=0$

$z$ est imaginaire pur ssi $x=\mathrm {Re}(z)=0$

$z=z'\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \mathrm {Re}(z)=\mathrm {Re}(z') \\ \mathrm {Im}(z)=\mathrm {Im}(z')\\ \end{array} \right$

Il y a bijection entre $\mathbb C$ et le plan de repère orthonormé $(O,\vec u,\vec v)$ .

Tout point $M(x,y)$ a pour affixe $z=x+iy$ .

Nombre complexe conjugué

$\forall{z\in\mathbb C}\quad\overline z=x-iy\quad\mathrm{si}\quad x=\mathrm {Re}(z)\quad\mathrm{et}\quad y=\mathrm {Im}(z)$ .

$z$ est réel ssi $z=\overline z$

$z$ est imaginaire pur ssi $z=-\overline z$

Propriétés :

$\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}$

$\overline{zz'}=\overline z\times\overline{z'}$

$\overline{(z^n)}=(\overline z)^n$

$\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline z}{\overline {z'}}$

$\mathrm {Re}(z)=\dfrac{z+\overline z}{2}$ et $\mathrm {Im}(z)=\dfrac{z-\overline z}{2i}$

Module d’un nombre complexe

$\forall{z\in\mathbb C}\quad|z|=\sqrt{x^2+y^2}\quad\mathrm{si}\quad x=\mathrm {Re}(z)\quad\mathrm{et}\quad y=\mathrm {Im}(z)$ .

Le module de $z$ est la distance $OM$ si $z$ est l’affixe de $M$ .

$|z|=0\Leftrightarrow z=0$

Propriétés :

$|z|=|\overline z|$

$|z|=\sqrt{z\overline z}$

$|zz'|=|z|\times|z'|$

$|z^n|={|z|}^n$

$|\dfrac{z}{z'}|=\dfrac{|z|}{|z'|}$

$|z+z'|\leq|z|+|z'|$

Argument d’un nombre complexe non nul

Si $z\neq 0$ et si $M$ est le point d’affixe $z$ , $\arg(z)$ est l’angle $(\vec u,\vec{OM})$ et par abus de langage toute mesure de cet angle.

Si $z\neq 0$ : $\arg(z)\equiv \theta \quad(2\pi) \Leftrightarrow\cos\theta=\dfrac{\mathrm {Re}(z)}{|z|}\quad\mathrm {et} \quad\sin\theta=\dfrac{\mathrm {Im}(z)}{|z|}$

$z$ est réel si et seulement si $\arg(z)\equiv 0\quad(\pi)$

z est imaginaire pur si et seulement si $\arg(z)\equiv\dfrac{\pi}{2}\quad(\pi)$

Propriétés :

$\arg(\overline z)\equiv -\arg(z)\quad(2\pi)$

$\arg(z^n)\equiv n\arg(z)\quad(2\pi)$

$\arg(zz')\equiv \arg(z)+\arg(z')\quad(2\pi)$

$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv \arg(z)-\arg(z')\quad(2\pi)$

Notation exponentielle

$\forall{\theta\in\mathbb R}\quad\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$

Forme trigonométrique d’un complexe non nul

Pour tout $z\in\mathbb C^*$ , il existe un unique réel $r>0$ et un réel $\theta$ unique à $2k\pi$ près ( $k\in\mathbb Z$ ) tels que : $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ .