Matrices

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Matrices à n lignes et p colonnes
2 Egalité de deux matrices
3 Addition de deux matrices
4 Multiplication d’une matrice par un scalaire
5 Multiplication de deux matrices
6 Transposée d’une matrice
7 Propriétés algébriques
8 Inverse d’une matrice carrée
9 Puissances d’un matrice carrée
10 Puissances d’une matrice diagonale
11 Structure de l’ensemble des matrices

Matrices à n lignes et p colonnes

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{np} \end{pmatrix}\qquad a_{ij}$ est l'élément de $\left\{ \begin{array}{ll} \mathrm{la\;ligne}\;i \\ \mathrm{la\;colonne}\;j \\ \end{array} \right.$

Matrice ligne si $n=1$ .

Matrice colonne si $p=1$ .

Matrice nulle si $\forall(i,j)\quad a_{ij}=0$ .

Matrice carrée d'ordre n si $p=n$ .

Matrice carrée diagonale si $a_{ij}=0$ pour tous $i\neq j$ .

Matrice $I_n$ unité d'ordre n : matrice diagonale avec $\forall i\quad a_{ij}=1$ .

Matrice carrée triangulaire supérieure si $a_{ij}=0$ pour tous $i>j$ .

Matrice carrée triangulaire inférieure si $a_{ij}=0$ pour tous $i<j$ .

$\mathcal M_{n,p}(K)$ : ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes dont les éléments sont dans $K$ .

$\mathcal M_n(K)$ : ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ dont les éléments sont dans $K$ .

Egalité de deux matrices

Elles doivent avoir les mêmes dimensions et : $\forall(i,j)\quad a_{ij}=b_{ij}$ .

Addition de deux matrices

Si $A\in\mathcal M_{n,p}(K)$ et $B\in\mathcal M_{n,p}(K)$ , la matrice $C=A+B$ appartient à $\mathcal M_{n,p}(K)$ et elle est obtenue en additionnant les éléments termes à termes : $\forall(i,j)\quad c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ .

Multiplication d’une matrice par un scalaire

Si $A\in\mathcal M_{n,p}(K)$ et $\lambda\in K$ , la matrice $C=\lambda A$ appartient à $\mathcal M_{n,p}(K)$ et elle est obtenue en multipliant tous les éléments de $A$ par $\lambda$ : $\forall(i,j)\quad c_{ij}=\lambda a_{ij}$ .

Multiplication de deux matrices

Si $A\in\mathcal M_{n,p}(K)$ et $B\in\mathcal M_{p,q}(K)$ , la matrice $C=AB$ appartient à $\mathcal M_{n,q}(K)$ et l'élément $c_{ij}$ est obtenu en multipliant la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ : $\forall(i,j)\quad c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$ .

Transposée d’une matrice

Si $A\in\mathcal M_{n,p}(K)$ , sa transposée $C={}^t A$ est la matrice de $\mathcal M_{p,n}(K)$ qui est obtenue en intervertissant les lignes et les colonnes de $A$ : $\forall(i,j)\quad c_{ij}=a_{ji}$ .

Propriétés :

${}^t(A+B)={}^t A+{}^t B$

${}^t(\lambda A)=\lambda({}^t A)$

${}^t(AB)={}^t B{}^t A$

Une matrice carrée est symétrique si ${}^t A=A$ .

Une matrice carrée est antisymétrique si ${}^t A=-A$ .

Propriétés algébriques

$A+B=B+A$

$(A+B)+C=A+(B+C)$

$\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

$(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$

$\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A$

$\lambda A=0\Leftrightarrow\lambda=0\quad\mathrm{ou}\quad A=0$

$\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$

$(AB)C=A(BC)$

$A(B+C)=AB+AC$

$(A+B)C=AC+BC$

Si $A\in\mathcal M_{n,p}(K)$ : $AI_p=I_nA=A$ .

La multiplication des matrices n’est pas commutative : $AB\neq BA$ en général.

Si $AB=BA$ on dit que les matrices commutent.

Un produit de matrices peut être nul sans qu’aucune des matrices ne soit nulle.

Inverse d’une matrice carrée

Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est inversible s’il existe une matrice carrée $B$ d’ordre $n$ telle que : $I=AB=BA$ . Alors $B=A^{-1}$ .

Propriétés :

$(A^{-1})^{-1}=A$

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

${}^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}$

$AB=C\Leftrightarrow B=A^{-1}C$ si $A$ est inversible.

$BA=C\Leftrightarrow B=CA^{-1}$ si $A$ est inversible.

Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si les éléments de sa diagonale sont non nuls.

Méthodes de calcul : Méthode de Jordan-Gauss ou Inversion du système ou Polynôme annulateur.

Puissances d’un matrice carrée

$A^k=A\times ...\times A$ ( $k$ fois si $k\in\mathbb N^*$ )

$A^0=I$

Propriétés :

$A^kA^m=A^{k+m}$

$(A^k)^m=A^{km}$

$(A^k)^{-1}=(A^{-1})^k$

${}^t(A^k)=({}^t A)^k$

Formule du binôme seulement si $A$ et $B$ commutent :

Si $AB=BA$ , alors : $(A+B)^m=\sum_{k=0}^{m}\begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}A^kB^{m-k}=\sum_{k=0}^{m}\begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}A^{m-k}B^k$ .

Puissances d’une matrice diagonale

Si $D=\begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_n \end{pmatrix}$ , alors $D^k=\begin{pmatrix} (d_1)^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & (d_n)^k \end{pmatrix}$