Limites

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Définition
2 Application aux différents cas
3 Limites à gauche et à droite
4 Unicité
5 Caractérisation séquentielle d’une limite
6 Opérations algébriques sur les limites
7 Composition de limites
8 Compatibilité avec l’ordre
9 Théorème d’encadrement
10 Limite d’une fonction monotone

Définition

Si $a\in\mathbb R$ , on note $\mathcal V(a)=\{]a-\alpha,a+\alpha[\quad/\quad\alpha>0\}$ . De même, on note $\mathcal V(+\infty)=\{]A,+\infty[\quad/\quad\ A>0\}$ et $\mathcal V(-\infty)=\{]-\infty,-A[\quad/\quad\ A>0\}$ .

Une fonction $f$ définie au voisinage de $a\in\overline{\mathbb R}$ (réel ou $\pm\infty$ ) admet en $a$ une limite $l\in\overline{\mathbb R}$ si :

$\forall{V\in\mathcal V(l)\quad\exists{W\in\mathcal V(a)\quad\forall{x\in D_f\cap W\quad f(x)\in V}}}$

Application aux différents cas

( $a\in\mathbb R$ et $l\in\mathbb R$ )

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l$ si : $\forall{\epsilon>0}\quad\exists{\alpha>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)-l|<\epsilon$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l$ si : $\forall{\epsilon>0}\quad\exists{B>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }x>B\Rightarrow|f(x)-l|<\epsilon$

$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l$ si : $\forall{\epsilon>0}\quad\exists{B>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }x<-B\Rightarrow|f(x)-l|<\epsilon$

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty$ si : $\forall{A>0}\quad\exists{\alpha>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }|x-a|<\alpha\Rightarrow f(x)>A$

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty$ si : $\forall{A>0}\quad\exists{\alpha>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }|x-a|<\alpha\Rightarrow f(x)<-A$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ si : $\forall{A>0}\quad\exists{B>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }x>B\Rightarrow f(x)>A$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$ si : $\forall{A>0}\quad\exists{B>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }x>B\Rightarrow f(x)<-A$

$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ si : $\forall{A>0}\quad\exists{B>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }x<-B\Rightarrow f(x)>A$

$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ si : $\forall{A>0}\quad\exists{B>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }x<-B\Rightarrow f(x)<-A$

Limites à gauche et à droite

Une fonction $f$ admet en $a\in\mathbb R$ une limite à gauche $l\in\overline{\mathbb R}$ si la restriction de $f$ à $D_f\cap]-\infty,a[$ admet la limite $l$ . Les définitions s’obtiennent en remplaçant $|x-a|<\alpha$ par $a-\alpha<x<a$ .

Une fonction $f$ admet en $a\in\mathbb R$ une limite à droite $l\in\overline{\mathbb R}$ si la restriction de $f$ à $D_f\cap]a,+\infty[$ admet la limite $l$ . Les définitions s’obtiennent en remplaçant $|x-a|<\alpha$ par $a<x<a+\alpha$ .

Unicité

Si une fonction admet en a une limite $l$ , cette limite est unique.

Caractérisation séquentielle d’une limite

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l$ si et seulement si pour toute suite $(u_n)$ convergeant vers $a$ , la suite $(f(u_n))$ converge vers $l$ .

Opérations algébriques sur les limites

( $l$ et $l'$ réels)

Somme

$u$	$v$	$u+v$
$l$	$l'$	$l+l'$
$+\infty$	$l'$	$+\infty$
$-\infty$	$l'$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$-\infty$	Indétermination

Produit (compléter par la règle des signes)

$u$	$v$	$uv$
$l$	$l'$	$ll'$
$\infty$	$l'\neq 0$	$\infty$
$\infty$	$0$	Indétermination
$\infty$	$\infty$	$\infty$

Quotient (compléter par la règle des signes)

$u$	$v$	$u/v$
$l$	$l'\neq 0$	$l/l'$
$l\neq 0$	$0$	$\infty$
$0$	$0$	Indétermination
$\infty$	$l'$	$\infty$
$l$	$\infty$	$0$
$\infty$	$\infty$	Indétermination

Composition de limites

$\lim_{x\rightarrow a}u(x)=b$ et si $\lim_{x\rightarrow b}v(x)=l$ , alors $\lim_{x\rightarrow a}(v\circ u)(x)=l$ .

Méthode : En posant $X=u(x)$ on obtient : $\lim_{x\rightarrow a}(v\circ u)(x)=\lim_{X\rightarrow b}v(X)=l$

Compatibilité avec l’ordre

( $a$ réel ou infini, $l$ et $l'$ réels)

Si, pour tout $x$ au voisinage de $a$ , $f(x)\leq g(x)$ et :

si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l$ et $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=l'$ , alors $l\leq l'$ (même si l'inégalité sur les fonctions est stricte).
si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty$ , alors $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=+\infty$ .
si $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=-\infty$ , alors $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty$ .

Théorème d’encadrement

( $a$ réel ou infini)

Si, pour tout $x$ au voisinage de $a$ , $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ , et si les deux fonctions $u$ et $v$ admettent en $a$ la même limite réelle : $\lim_{x\rightarrow a}u(x)=\lim_{x\rightarrow a}v(x)=l$ , alors la fonction $f$ admet en $a$ une limite égale à $l$ : $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l$ .

Limite d’une fonction monotone

Si $f$ est une fonction croissante sur $]a,b[$ ( $a$ et $b$ réels ou infinis) :

Si $f$ est majorée, $f$ a une limite réelle en $b$ . Sinon $\lim_{x\rightarrow b}f(x)=+\infty$ .
Si $f$ est minorée, $f$ a une limite réelle en $a$ . Sinon $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty$ .

Si $f$ est une fonction décroissante sur $]a,b[$ ( $a$ et $b$ réels ou infinis) :

Si $f$ est minorée, $f$ a une limite réelle en $b$ . Sinon $\lim_{x\rightarrow b}f(x)=-\infty$ .
Si $f$ est majorée, $f$ a une limite réelle en $a$ . Sinon $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty$ .

--CatherineLaidebeure 26 juillet 2010 à 16:15 (CEST)

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Catégorie: Mathématiques