Généralités sur les fonctions

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Fonction
2 Fonction paire
3 Fonction impaire
4 Fonction périodique
5 Fonction bornée
6 Fonction monotone
7 Extremum d’une fonction sur un intervalle

Fonction

Une fonction $f$ d’un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ associe à tout élément $x$ de $E$ au plus un élément $y$ de $F$ (donc 0 ou 1).

Son ensemble de définition $D_f$ est l’ensemble des éléments $x$ de $E$ qui sont associés à un élément $y$ de $F$ (qui possèdent une image).

On a une fonction réelle d’une variable réelle si $E=F=\mathbb R$ .

Sa courbe représentative dans un repère est l’ensemble des points $M(x,y)$ tels que $x\in D_f$ et $y=f(x)$ .

Fonction paire

Une fonction est paire si :

$D_f$ est symétrique par rapport à 0 : $\forall{x\in D_f}\quad(-x)\in{D_f}$ .
$\forall{x\in D_f}\quad f(-x)=f(x)$ .

On l'étudie sur $D_f\cap[0,+\infty[$ et on complète sa courbe par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction impaire

Une fonction est impaire si :

$D_f$ est symétrique par rapport à 0 : $\forall{x\in D_f}\quad(-x)\in{D_f}$ .
$\forall{x\in D_f}\quad f(-x)=-f(x)$ .

On l'étudie sur $D_f\cap[0,+\infty[$ et on complète sa courbe par symétrie par rapport au point O.

Fonction périodique

Une fonction est périodique s'il existe un réel $T>0$ tel que :

$D_f$ est invariant par translation de $T$ : $\forall{x\in D_f}\quad(x+T)\in{D_f}$ .
$\forall{x\in D_f}\quad f(x+T)=f(x)$ .

La période est le plus petit réel $T>0$ qui convient (s’il existe). On étudie $f$ sur $D_f\cap[a,a+T]$ ( $a$ quelconque) et on complète sa courbe par des translations de vecteurs $kT\vec i$ où $k\in\mathbb Z$ .

Fonction bornée

Une fonction $f$ est majorée sur un intervalle $I$ s’il existe un réel $M$ (majorant) tel que : $\forall{x\in I}\quad f(x)\leq M$ .

Une fonction $f$ est minorée sur un intervalle $I$ s’il existe un réel $m$ (minorant) tel que : $\forall{x\in I}\quad f(x)\geq m$ .

Une fonction $f$ est bornée sur $I$ si elle est majorée et minorée.

Fonction monotone

Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ vérifiant $a\leq b$ , on a $f(a)\leq f(b)$ ( $f$ conserve le sens des inégalités).

Une fonction $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ vérifiant $a<b$ , on a $f(a)<f(b)$ .

Une fonction $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ vérifiant $a\leq b$ , on a $f(a)\geq f(b)$ ( $f$ change le sens des inégalités).

Une fonction $f$ est strictement décroissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ vérifiant $a<b$ , on a $f(a)>f(b)$ .

La fonction $f$ est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou décroissante.

Extremum d’une fonction sur un intervalle

Une fonction $f$ admet sur $I$ un maximum global en $a\in I$ si : $\forall{x\in I}\quad f(x)\leq f(a)$ .

Une fonction $f$ admet sur $I$ un maximum local en $a\in I$ s'il existe $\alpha>0$ tel que : $\forall{x\in I\cap]a-\alpha,a+\alpha[}\quad f(x)\leq f(a)$ .

Une fonction $f$ admet sur $I$ un minimum global en $a\in I$ si : $\forall{x\in I}\quad f(x)\geq f(a)$ .

Une fonction $f$ admet sur $I$ un minimum local en $a\in I$ s'il existe $\alpha>0$ tel que : $\forall{x\in I\cap]a-\alpha,a+\alpha[}\quad f(x)\geq f(a)$ .