Formules de Taylor

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Formule de Taylor à l’ordre n avec reste intégral
2 Cas des polynômes
3 Egalité de Taylor-Lagrange
4 Inégalité de Taylor-Lagrange
5 Formule de Taylor-Young

Formule de Taylor à l’ordre n avec reste intégral

Si $f$ est une fonction de classe $C^{n+1}$ ( $n$ entier naturel) sur un intervalle $I$ , alors pour tous $a$ et $b$ de $I$ :

$f(b)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_{a}^{b}\dfrac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt$ .

Cas des polynômes

Si $P\in{\mathbb R}_n[X]$ , alors pour tout $a$ réel :

$\forall x\in\mathbb R\quad P(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ .

Egalité de Taylor-Lagrange

Si $f$ est une fonction de classe $C^{n+1}$ sur un intervalle $I$ , alors pour tous $a$ et $b$ dans $I$ , il existe $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que :

$f(b)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\dfrac{(b-a)^n}{n!}f^{(n+1)}(c)$ .

Inégalité de Taylor-Lagrange

Si $f$ est une fonction de classe $C^{n+1}$ sur un intervalle $I$ et si $\forall t\in I\quad\left|f^{(n+1)}(t)\right|\leq M$ , alors pour tous $a$ et $b$ de l'intervalle $I$ :

$\left|f(b)-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)\right|\leq M\dfrac{{|b-a|}^{n+1}}{(n+1)!}$ .

Formule de Taylor-Young

Si $f$ est une fonction de classe $C^n$ sur un intervalle $I$ contenant $a$ , alors il existe une fonction $\epsilon$ telle que $\lim_{x\rightarrow a}\epsilon(x)=0$ :