Fonctions puissances

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Définition

Si $\alpha$ est un réel : $\forall{x\in]0,+\infty[\quad f_\alpha(x)=x^\alpha=e^{\alpha\ln x}$ .

Cas particuliers :

$x^{1/n}=\sqrt[n]x$ pour tout entier $n>0$ .

$x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p}=\left(\sqrt[q]x\right)^p$ pour tous les entiers $p$ et $q>0$ .

Certaines fonctions puissances sont prolongeables à $\mathbb R$ .

Propriété fondamentale

$x^\alpha\times y^\alpha=(xy)^\alpha$ pour tous réels $x>0$ et $y>0$ .

Conséquences :

$x^{k\alpha}=\left(x^k\right)^\alpha=\left(x^\alpha)^k$

$\left(\dfrac{x}{y}\right)^\alpha=\dfrac{x^\alpha}{y^\alpha}$

Autres propriétés

$x^\alpha\times x^\beta=x^{\alpha +\beta}$

$\left(x^\alpha\right)^\beta=x^{\alpha\beta}$

$\dfrac{x^\alpha}{x^\beta}=x^{\alpha -\beta}$

Dérivée

La fonction puissance est dérivable et $\forall{x\in]0,+\infty[\quad f'_\alpha(x)=\alpha x^{\alpha-1}$ .

Limites

$\lim_{x\rightarrow 0^+}x^\alpha=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty & \quad \mathrm{si}\quad\alpha<0 \\ 0 & \quad \mathrm{si}\quad\alpha>0 \\ \end{array} \right.$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}x^\alpha=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \quad \mathrm{si}\quad\alpha<0 \\ +\infty & \quad \mathrm{si}\quad\alpha>0 \\ \end{array} \right.$