Fonctions de deux variables

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Définition

C'est une fonction f de \mathbb R^2 dans \mathbb R : M=(x,y)\mapsto f(M)=f(x,y).

Droite affine

La droite affine passant par A et de vecteur directeur u=(\alpha,\beta) non nul est : d_{A,u}=\{M\in{\mathbb R^2}/\exists{t\in\mathbb R}\quad\overrightarrow{AM}=tu\}=\{M\in{\mathbb R^2}/\exists{t\in\mathbb R}\quad M=A+tu\}.

Elle admet une représentation paramétrique \left\{ \begin{array}{ll} x=x_A+t\alpha \\ y=y_A+t\beta \\ \end{array} \right. et une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.

Réciproquement si (a,b)\neq(0,0), l'ensemble \{(x,y)\in{\mathbb R^2}/ax+by+c=0\} est une droite affine de vecteur directeur u=(b,-a).

Demi-plans

Si (a,b)\neq(0,0), la droite d’équation ax+by+c=0 définit deux demi-plans :

  • ouverts : \{(x,y)\in{\mathbb R^2}/ax+by+c<0\} et \{(x,y)\in{\mathbb R^2}/ax+by+c>0\}.
  • fermés : \{(x,y)\in{\mathbb R^2}/ax+by+c\leq 0\} et \{(x,y)\in{\mathbb R^2}/ax+by+c\geq 0\}.

Segment

Le segment [A,B] est l'ensemble \{M\in{\mathbb R^2}/\exists{t\in[0,1]\quad M=(1-t)A+tB\}.

Produit scalaire usuel

Le produit scalaire usuel est l’application qui à tous vecteurs u=(x,y) et v=(x',y') associe le réel <u,v>=xx'+yy'.

Propriétés :

<u,v>=<v,u> pour tous u et v.

w\mapsto<w,v> et w\mapsto<u,w> sont linéaires pour tous u et v.

<u,u>\geq 0 pour tout u et <u,u>=0\Leftrightarrow u=0.

Si E est un \mathbb R-espace vectoriel, toute application de E^2 dans \mathbb R qui vérifie ces propriétés est un produit scalaire.

Norme euclidienne

La norme euclidienne est l’application qui à tout vecteur u=(x,y) associe le réel \|u\|=\sqrt{<u,u>}=\sqrt{x^2+y^2}.

Propriétés :

\|u\|\geq 0 pour tout u et \|u\|=0\Leftrightarrow u=0.

\|\lambda u\|=|\lambda|\|u\| pour tout vecteur u et tout réel \lambda.

\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\| pour tous u et v (Inégalité triangulaire).

Inégalité de Cauchy-Schwarz

\left|<u,v>\right|\leq\|u\|\times\|v\| pour tous u et v (égalité si et seulement si u et v sont colinéaires).

Distance euclidienne de deux points

La distance euclidienne est l'application qui à tous points M=(x,y) et N=(x',y') associe le réel d(M,N)=\|N-M\|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}.

Propriétés :

d(M,N)\geq 0 pour tous M et N, et d(M,N)=0\Leftrightarrow M=N

d(M,N)=d(N,M) pour tous M et N.

d(M,P)\leq d(M,N)+d(N,P) pour tous M, N et P (Inégalité triangulaire).

Boules

Boules de centre A et de rayon r>0 :

  • boule ouverte : B(A,r)=\{M\in\mathbb R^2/d(A,M)<r\}.
  • boule fermée : B_f(A,r)=\{M\in\mathbb R^2/d(A,M)\leq r\}.

Partie ouverte (ou ouvert)

Une partie D de \mathbb R^2 est un ouvert de \mathbb R^2 si D=\O ou si, pour tout point A\in D, il existe un réel r>0 tel que B(A,r)\subset D.

Exemples : les boules ouvertes, \mathbb R^2 et \O, les demi-plans ouverts.

Propriétés :

Une réunion d'ouverts est un ouvert.

Une intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert.

Partie fermée (ou fermé)

Une partie D de \mathbb R^2 est un fermé de \mathbb R^2 si son complémentaire \overline D est un ouvert.

Exemples : les boules fermées, \mathbb R^2 et \O, les demi-plans fermés.

Propriétés :

Une réunion d'un nombre fini de fermés est un fermé.

Une intersection de fermés est un fermé.

Partie bornée

Une partie D de \mathbb R^2 est bornée s'il existe une boule contenant D.

D est bornée si et seulement si : \exists K\geq 0\quad\forall M\in D\quad\|M\|\leq K.

Propriétés :

Une réunion d'un nombre fini de bornés est un borné.

Une intersection de bornés est un borné.

Partie convexe

Une partie D de \mathbb R^2 est convexe si : \forall M\in D^2\quad[M,N]\subset D.

D est convexe si et seulement si : \forall (M,N)\in D^2\quad\forall t\in[0,1]\quad (1-t)M+tN\in D.

Propriétés : Une intersection de convexes est convexe (Pas la réunion).

Graphe d’une fonction de deux variables

C'est \Gamma=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3/(x,y)\in D_f\quad\mathrm{et}\quad z=f(x,y)\} (surface de \mathbb R^3).

Lignes de niveau

La ligne de niveau k\in\mathbb R est \mathcal L_k=\{(x,y)\in\mathbb R^2/(x,y)\in D_f\quad\mathrm{et}\quad f(x,y)=k\}.

C’est l’intersection du graphe avec le plan d’équation z=k.

Limite en un point

Une fonction f définie sur un ouvert D\neq\O de \mathbb R^2 admet au point A\in D une limite l si : \forall\epsilon>0\quad\exists\alpha>0\quad\forall M\in B(A,\alpha)\cap D\quad|f(M)-l|<\epsilon.

Cette limite si elle existe est unique. On la note : l=\lim_{M\rightarrow A}f(M).

Les propriétés sont identiques à celles des fonctions d’une variable.

Continuité

Une fonction f définie sur un ouvert D\neq\O de \mathbb R^2 est continue au point A\in D si : \forall\epsilon>0\quad\exists\alpha>0\quad\forall M\in B(A,\alpha)\cap D\quad|f(M)-f(A)|<\epsilon.

Elle est continue sur D si elle est continue en tout point de D.

Opérations algébriques

Mêmes opérations algébriques que pour les fonctions d’une variable.

Conséquence : Les polynômes et les fractions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.

Composition

  • Si f est une fonction de \mathbb R^2 dans \mathbb R continue en A et si \phi est une fonction de \mathbb R dans \mathbb R continue en f(A), alors la fonction \phi\circ f est continue en A.

Conséquence : Si f est continue sur D, les fonctions |f|, \ln f, e^f, f^\alpha, \sin f, \cos f, ... sont continues sur D si elles sont définies.

  • Si \phi et \psi sont deux fonctions de \mathbb R dans \mathbb R continues en a, et si f est une fonction de \mathbb R^2 dans \mathbb R continue en A=(\phi(a),\psi(a)), alors la fonction t\mapsto f(\phi(t),\psi(t)) est continue en a.

Conséquence 1 : Si f est continue en un point A de D, alors pour tout u de \mathbb R^2, la fonction t\mapsto f(A+tu) est continue en 0 (mais réciproque fausse).

Conséquence 2 : Pour montrer qu'une fonction f n'est pas continue en A, il suffit de trouver deux fonctions \phi et \psi continues en a telles que la fonction t\mapsto f(\phi(t),\psi(t)) ne soit pas continue en a.

Propriétés des fonctions continues

Si f est une fonction continue sur \mathbb R^2, alors :

  • Si I est un intervalle ouvert de \mathbb R, alors f^{-1}(I) est un ouvert de \mathbb R^2.
  • Si I est un intervalle fermé de \mathbb R, alors f^{-1}(I) est un fermé de \mathbb R^2.

Toute fonction continue sur une partie fermée et bornée de \mathbb R^2 est bornée et atteint ses bornes.

Dérivées partielles d’ordre 1

Une fonction f définie sur un ouvert D\neq\O admet en A=(x_0,y_0) :

  • une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à x si la fonction x\mapsto f(x,y_0) est dérivable en x_0 : \dfrac{\partial f}{\partial x}(A)=\lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}.
  • une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à y si la fonction y\mapsto f(x_0,y) est dérivable en y_0 : \dfrac{\partial f}{\partial y}(A)=\lim_{y\rightarrow y_0}\dfrac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}.

Une fonction peut admettre des dérivées partielles sans être continue.

Opérations

Mêmes opérations algébriques que pour les fonctions d’une variable. Les formules de dérivation sont analogues.

Conséquence : Les polynômes et les fractions rationnelles admettent des dérivées partielles d’ordre 1 sur leur ensemble de définition.

Si f admet des dérivées partielles en A et si\phi est dérivable en f(A), alors \phi\circ f admet des dérivées partielles en A :

\dfrac{\partial(\phi\circ f)}{\partial x}(A)=({\phi}'\circ f)(A)\dfrac{\partial f}{\partial x}(A)

\dfrac{\partial(\phi\circ f)}{\partial y}(A)=({\phi}'\circ f)(A)\dfrac{\partial f}{\partial y}(A)

Si \phi et \psi sont dérivables en a, et si f admet des dérivées partielles en A=\left(\phi(a),\psi(a)\right), la fonction g : t\mapsto f\left(\phi(t),\psi(t)\right) est dérivable en a : g'(a)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(A){\phi}'(a)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(A){\psi}'(a)

Gradient

Si f est une fonction qui admet des dérivées partielles d’ordre 1 en A, on appelle gradient de f en A le vecteur : \nabla f(A)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(A),\dfrac{\partial f}{\partial y}(A)\right).

Dérivée directionnelle

Si f est définie sur un ouvert D\neq\O et si A\in D, alors, pour tout vecteur unitaire u, on appelle dérivée de f en A dans la direction de u le réel (s'il existe) : f'_u(A)=\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{f(A+tu)-f(A)}{t}.

Développement limité d’ordre 1

Une fonction f définie sur un ouvert D\neq\O admet en A=(x_0,y_0) un développement limité d’ordre 1 s’il existe deux réels a et b, et une fonction \epsilon tels que :

f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0+y_0)+ah+bk+\sqrt{h^2+k^2}\epsilon(h,k) et \lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\epsilon(h,k)=0.

Toute fonction qui admet un développement limité d’ordre 1 en A est continue en A et admet des dérivées partielles d’ordre 1 en A : \dfrac{\partial f}{\partial x}(A)=a et \dfrac{\partial f}{\partial y}(A)=b.

Mais la réciproque est fausse : une fonction peut avoir des dérivées partielles d’ordre 1 sans avoir de développement limité d’ordre 1.

Fonction de classe C 1

Une fonction f est de classe C^1 sur un ouvert D\neq\O si elle admet en tout point de D des dérivées partielles qui sont continues sur D.

Propriété :

Toute fonction de classe C^1 sur un ouvert D\neq\O admet en tout point A=(x_0,y_0) de D un développement limité d’ordre 1 : f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0+y_0)+h\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+k\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+\sqrt{h^2+k^2}\epsilon(h,k) avec \lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\epsilon(h,k)=0.

Ceci s'écrit aussi : f(A+H)=f(A)+<\nabla f(A),H>+\|H\|\epsilon(H) avec \lim_{H\rightarrow(0,0)}\epsilon(H)=0.

Conséquence :

Si f est une fonction de classe C^1 sur un ouvert D\neq\O de \mathbb R^2, elle admet en tout point A de D une dérivée dans toute direction u et f'_u(A)=<\nabla f(A),u>.

Propriété :

Si f est une fonction de classe C^1 sur un ouvert D\neq\O, son gradient est, en tout point d’une ligne de niveau où il ne s’annule pas, normal à cette ligne de niveau (orthogonal à la tangente).

Extremum local

Une fonction f définie sur un ouvert D\neq\O admet en A\in D :

  • un maximum local si : \exists r>0\quad\forall M\in B(A,r)\cap D\quad f(M)\leq f(A).
  • un minimum local si : \exists r>0\quad\forall M\in B(A,r)\cap D\quad f(M)\geq f(A).

Le maximum ou le minimum est absolu si l’inégalité est vraie en tout point M de D.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Condition nécessaire (mais pas suffisante) d’extremum local

Si une fonction f de classe C^1 sur un ouvert D\neq\O de \mathbb R^2 admet un extremum local en A\in D, alors \dfrac{\partial f}{\partial x}(A)=0\quad\mathrm{et}\quad\dfrac{\partial f}{\partial y}(A)=0.

Les points qui vérifient ces conditions s’appellent des points critiques.

Dérivées partielles d’ordre 2

Sous réserve d’existence, il existe 4 dérivées partielles d’ordre 2 :

\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} est la dérivée partielle de \dfrac{\partial f}{\partial x} par rapport à x si elle existe.

\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} est la dérivée partielle de \dfrac{\partial f}{\partial y} par rapport à x si elle existe.

\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} est la dérivée partielle de \dfrac{\partial f}{\partial x} par rapport à y si elle existe.

\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} est la dérivée partielle de \dfrac{\partial f}{\partial y} par rapport à y si elle existe.

Fonction de classe C 2

Une fonction f est de classe C^2 sur un ouvert D\neq\O si elle admet en tout point de D des dérivées partielles secondes qui sont continues sur D.

Théorème de Schwarz

Si f est une fonction de classe C^2 sur un ouvert non vide D de \mathbb R^2, alors pour tout M de D : \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(M)=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(M).

Développement limité d’ordre 2

Toute fonction de classe C^2 sur un ouvert non vide D de \mathbb R^2 admet en tout point (x_0,y_0) de D un développement limité d'ordre 2 : f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0+y_0)+h\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+k\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+\dfrac{1}{2}h^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)+hk\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)+\dfrac{1}{2}k^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)+(h^2+k^2)\epsilon(h,k)

où \epsilon est une fonction qui vérifie \lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\epsilon(h,k)=0.

Notations de Monge

Sous réserve d'existence, on note : r=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \quad \quad s=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \quad \quad t=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}

Recherche d’un extremum local

Si la fonction f est de classe C^2 sur un ouvert D\neq\O de \mathbb R^2, alors pour chaque point critique A=(x_0,y_0) :

  • Si rt-s^2>0, alors f admet un extremum local en A : si r>0, c’est un minimum, et si r<0, c’est un maximum.
  • Si rt-s^2<0, alors f n’admet pas d’extremum local en A.
  • Si rt-s^2=0, on ne peut pas conclure : il faut étudier "à la main" le signe de f(x,y)-f(x_0,y_0).


--CatherineLaidebeure 27 juillet 2010 à 14:32 (CEST)

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