Exponentielle

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

En complément de cet article on pourra consulter l'article Autres fonctions exponentielles.

Sommaire

Nombre de Neper

Le nombre e est l’unique réel positif tel que \ln e=1 : e\approx 2,718.

Définition

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Pour tout réel x, on note \mathrm exp(x)=e^x .

y=e^x\Leftrightarrow x=\ln y pour tout réel x et tout réel y>0.

Conséquences : \forall{x\in\mathbb R}\quad\ln(e^x)=x\quad\mathrm{et}\quad\forall{x\in]0,+\infty[\quad e^{\ln x}=x.

Propriété fondamentale

e^{a+b}=e^a\times e^b pour tous réels a et b.

Conséquences :

(e^a)^k=e^{ka} pour tout entier k.

e^{a/2}=\sqrt{e^a}

e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}

e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}

Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb R : \forall{x\in\mathbb R}\quad(e^x)'=e^x.

Limites

\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0

\lim_{x\rightarrow -\infty}|x|^\alpha e^x=0 \quad(\alpha >0)

\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1

\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty

\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^\alpha}=+\infty \quad(\alpha >0)

\lim_{x\rightarrow +\infty}x^\alpha e^{-x}=0 \quad(\alpha >0)

Signe

Elle est positive : \forall{x\in\mathbb R}\quad e^x>0

Courbe


--CatherineLaidebeure 21 juillet 2010 à 09:09 (CEST)

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