Espaces vectoriels

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Définition
2 Exemples fondamentaux
3 Sous-espaces vectoriels
4 Somme de deux sous-espaces vectoriels
5 Sous-espace vectoriel engendré
6 Famille génératrice
7 Famille libre
8 Famille liée
9 Base
10 Espace vectoriel de dimension finie
11 Dimension d’un espace vectoriel
12 Bases canoniques
13 Sous-espaces vectoriels d’un espace de dimension n
14 Familles de vecteurs d’un espace vectoriel de dimension n

Définition

Un ensemble $E$ est un espace vectoriel sur $K=\mathbb R$ ou $K=\mathbb C$ s'il est muni d'une addition interne $\left\{ \begin{array}{ll} E\times E\rightarrow E \\ (u,v)\mapsto u+v \\ \end{array} \right.$ et d'une multiplication externe (à opérateurs dans $K$ ) $\left\{ \begin{array}{ll} K\times E\rightarrow E \\ (\alpha,u)\mapsto\alpha u \\ \end{array} \right.$ qui vérifient :

$\forall(u,v)\in E^2\quad u+v=v+u$ .

$\forall(u,v,w)\in E^3\quad (u+v)+w=u+(v+w)$ .

Il existe un (unique) élément (neutre) $0_E$ de $E$ tel que : $\forall u\in E\quad u+0_E=0_E+u=u$ .

Pour tout élément $u$ de $E$ , il existe un (unique) élément de $E$ noté $-u$ tel que : $u+(-u)=(-u)+u=0_E$ .

$\forall u\in E\quad 1u=u$ .

$\forall\alpha\in K\quad\forall(u,v)\in E^2\quad\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v$ .

$\forall(\alpha,\beta)\in K^2\quad\forall u\in E\quad(\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u$ .

$\forall(\alpha,\beta)\in K^2\quad\forall u\in E\quad\alpha(\beta u)=(\alpha\beta)u$ .

Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs. Les éléments de $K$ sont appelés des scalaires.

Propriété :

$\alpha u=0_E\Leftrightarrow\alpha=0\quad\mathrm{ou}\quad u=0_E$ dans un espace vectoriel.

Exemples fondamentaux

$K^n$ , $\mathcal A(D,K)$ (applications de $D$ dans $K$ ), $\mathcal U=K^{\mathbb N}$ (suites numériques), $K[X]$ (polynômes), $K_n[X]$ (polynômes de degré $\leq n$ ), $\mathcal M_{n,p}(K)$ (matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes) et $\mathcal Mâ��n(K)$ (matrices carrées d'ordre $n$ ) sont des espaces vectoriels sur $K$ .

Sous-espaces vectoriels

Une partie $F$ d’un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :

$F\neq\O$

$\forall\alpha\in K\quad\forall(u,v)\in F^2\quad\alpha u+v\in F$

Tout sous-espace vectoriel est un espace vectoriel.

Tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul $0_E$ .

Une intersection de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (donc non vide). C’est faux pour une réunion.

Somme de deux sous-espaces vectoriels

La somme $F+G=\{u+v/u\in F\quad\mathrm{et}\quad v\in G\}$ de deux sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

La somme est directe (notée $F\oplus G$ ) si $F\cap G=\{0_E\}$ .

$F$ et $G$ sont supplémentaires si $F\oplus G=E$ . Alors tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en $u+v$ avec $u\in F$ et $v\in G$ .

Sous-espace vectoriel engendré

Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs $u_1, ..., u_n$ est l’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs :

$u\in\mathrm{Vect}<u_1,...,u_n>\Leftrightarrow\exists(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n\quad u=\sum_{k=1}^{n}\alpha_ku_k$ .

Famille génératrice

Une famille $(u_1, ..., u_n)$ de vecteurs appartenant à un sous-espace vectoriel $F$ est génératrice de $F$ si $\mathrm{Vect}<u_1,...,u_n>=F$ , c’est-à-dire si tout vecteur de $F$ est combinaison linéaire de $u_1, ..., u_n$ .

Toute famille de vecteurs de $F$ qui contient une famille génératrice de $F$ est génératrice de $F$ .

Si l’un des vecteurs d’une famille génératrice est combinaison linéaire des autres, la famille privée de ce vecteur est génératrice.

Famille libre

Une famille $(u_1, ..., u_n)$ de vecteurs est libre si : $\forall(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n\quad\alpha_1 u_1+...+\alpha_n u_n=0_E\Leftrightarrow\alpha_1=...=\alpha_n=0$ .

Une famille $(u_1)$ est libre si et seulement si $u_1\neq0_E$ .

Une famille $(u_1,u_2)$ est libre si et seulement si $u_1$ et $u_2$ ne sont pas colinéaires.

Toute famille contenue dans une famille libre est libre.

La famille est libre si et seulement si tout vecteur de $\mathrm{Vect}<u_1,...,u_n>$ s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire de $u_1,..., u_n$ .

Famille liée

Une famille $(u_1, ..., u_n)$ de vecteurs de $E$ est liée si elle n'est pas libre, donc si : $\exists(\alpha_1,...,\alpha_n)\neq(0,...,0)\quad\alpha_1 u_1+...+\alpha_n u_n=0_E$ .

La famille est liée si et seulement si l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.

Toute famille qui contient une famille liée (par ex. $0_E$ ) est liée.

Base

Une famille $(u_1, ..., u_n)$ de vecteurs d'un sous-espace vectoriel $F$ est une base de $F$ si elle est libre et génératrice.

Une famille $(u_1, ..., u_n)$ est une base de $F$ si et seulement si : $\forall u\in F\quad\exists!(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\mathbb R^n\quad u=\alpha_1 u_1+...+\alpha_n u_n$ .

$(\alpha_1,...,\alpha_n)$ sont les coordonnées de $u$ dans la base $(u_1,...,u_n)$ .

Espace vectoriel de dimension finie

C’est un espace vectoriel qui a une famille génératrice finie.

Tout espace vectoriel $E\neq\{0_E\}$ de dimension finie admet une base.

Dimension d’un espace vectoriel

Théorème de la dimension : Si un espace vectoriel possède une base de $n$ vecteurs, toutes les autres bases ont $n$ vecteurs.

Ce nombre $n$ s’appelle la dimension de $E$ : $\dim E=n$ .

Par convention : $\dim\{0_E\}=0$ .

Une droite vectorielle est un espace vectoriel de dimension 1.

Un plan vectoriel est un espace vectoriel de dimension 2.

Un hyperplan d’un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $n-1$ .

Bases canoniques

$\dim K^n=n$ Base canonique : $(1,0,...0),...,(0,0,...,1)$ .

$\dim K_n[X]=n+1$ Base canonique : $(1,X,...X^n)$ .

$\dim\mathcal M_{n,p}(K)=np$ Base canonique : $(E_{i,j})_{1\leq i\leq n\,\mathrm{et}\, 1\leq j\leq p}$ (où $E_{i,j}$ est la matrice dont tous es éléments sont nuls sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$ qui vaut 1).