Espaces probabilisés

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Expérience aléatoire

Il s’agit d’une expérience à laquelle on peut associer l’ensemble \Omega (univers) de tous les résultats \omega possibles (éventualités).

Evénements

Un événement A est une partie de \Omega. Il est réalisé si \omega\in A.

Si A=\O, c’est l’événement impossible.

Si A=\Omega, c’est l’événement certain.

Si A n’a qu’un élément (A=\{\omega\}), c’est un événement élémentaire.

Opérations sur les événements

L’événement A\cap B est réalisé si A et B sont réalisés.

Si A\cap B=\O, les événements A et B sont incompatibles.

L’événement A\cup B est réalisé si A ou B est réalisé.

L’événement \overline A est l’événement contraire de l’événement A.

L’événement A-B=A\cap\overline B est réalisé si A est réalisé, mais pas B.

Tribu (ou algèbre) des événements

On appelle tribu (ou \sigma-algèbre) d’événements toute partie \mathcal A de \mathcal P(\Omega) qui vérifie :

  1. \Omega\in\mathcal A
  2. \forall{A\in\mathcal A}\quad\overline A\in\mathcal A
  3. Pour toute suite (A_n)_{n\in\mathbb N} d'éléments de \mathcal A : \bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\in\mathcal A

La tribu engendrée par une famille de parties de \Omega est la plus petite tribu contenant cette famille.

Propriétés des tribus

  • \O\in\mathcal A.
  • Si A et B sont des éléments de \mathcal A alors A\cap B\in\mathcal A, A\cup B\in\mathcal A et A-B\in\mathcal A.
  • Pour toute suite (A_n)_{n\in\mathbb N} d'éléments de \mathcal A : \bigcap_{n=0}^{+\infty}A_n\in\mathcal A.

Espace probabilisable

Un espace probabilisable (\Omega,\mathcal A) associé à l’expérience aléatoire est la donnée de l’univers \Omega et d’une tribu \mathcal A d’événements.

Probabilité

Une probabilité P sur l'espace probabilisable (\Omega,\mathcal A) est une application de l'ensemble des événements \mathcal A dans \mathbb R^+ qui vérifie :

  1. P(\Omega)=1
  2. Pour toute suite (A_n)_{n\in\mathbb N} d'éléments de \mathcal A deux à deux incompatibles : P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n)

Propriétés

  • P(\O)=0.
  • 0\leq P(A)\leq 1 pour tout événement A.
  • P(\overline A)=1-P(A).
  • P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
  • Formule du crible : P\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_k\right)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\left(\sum_{1\leq i_1<...<i_k\leq n}P(A_1\cap ...\cap A_{i_k})\right)
  • Si (A_n) est une suite croissante (\forall{n\in\mathbb N}\quad A_n\subset A_{n+1}) d'éléments de \mathcal A, alors P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right)=\lim_{n\rightarrow +\infty}P(A_n).
  • Si (A_n) est une suite décroissante (\forall{n\in\mathbb N}\quad A_{n+1}\subset A_n) d'éléments de \mathcal A, alors P\left(\bigcap_{n=0}^{+\infty}A_n\right)=\lim_{n\rightarrow +\infty}P(A_n).

Espace probabilisé

Un espace probabilisé (\Omega,\mathcal A,P) est la donnée de l’univers \Omega, d’une tribu \mathcal A d’événements et d’une probabilité P.

Cas d’un univers fini ou dénombrable

Dans le cas où \Omega est un univers fini ou dénombrable, on prend en général pour tribu d’événements \mathcal A=\mathcal P(\Omega).

Si \Omega=\{\omega_i/i\in I\}I est un ensemble fini ou dénombrable, la probabilité P est déterminée par les probabilités des événements élémentaires p_i=P(\{\omega_i\}) :

P(\O)=0 et si A\neq\O, alors P(A)=\sum_{i\in J}p_iJ=\{i\in I/\omega_i\in A\}.

Réciproquement une famille de nombres(p_i)_{i\in I} définit une probabilité sur \Omega si et seulement si : \forall{i\in I}\quad 0\leq p_i\leq 1\quad\mathrm{et}\quad\sum_{i\in I}p_i=1.

Equiprobabilité dans le cas d’un univers fini

Si \Omega est un univers fini, il y a équiprobabilité sur \Omega si tous les événements élémentaires ont même probabilité (tous les p_i sont égaux).

Alors P(A)=\dfrac{\mathrm {Card} (A)}{\mathrm {Card}(\Omega)} pour tout événement A.

Probabilité conditionnelle

Soit (\Omega,\mathcal A,P) un espace probabilisé et B un événement de probabilité P(B)\neq 0. Alors l'application P_B qui, à tout élément A de \mathcal A, associe le réel positif P(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} est une probabilité sur (\Omega,\mathcal A) : la probabilité conditionnée par B.

Propriétés :

P_B(\overline A)=1-P_B(A)

P_B(A\cup A')=P_B(A)+P_B(A')-P_B(A\cap A')).

Formule des probabilités composées

P(A_1\cap ...\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)P_{A_1\cap A_2}(A_3)...P_{A_1\cap ...\cap A_{n-1}}(A_n) si pour tout k\in[\![1, n-1]\!], on a P(A_1\cap ...\cap A_k)\neq 0

Cas particulier : P(A\cap B)=P_B(A)P(B)=P_A(B)P(A) si P(A)\neq 0 et P(B)\neq 0

Système complet d’événements

(B_i)_{i\in I} est un système complet d'événements s'ils sont deux à deux incompatibles (B_i\cap B_j=\O\quad\mathrm{si}\quad i\neq j), si leur réunion est \Omega et si \forall i\in I\quad P(B_i)\neq 0.

Cas particulier : un événement B et son contraire \overline B.

Formule des probabilités totales

Si (B_i)_{i\in I} est un système complet d'événements :

P(A)=\sum_{i\in I}P(A\cap B_i)=\sum_{i\in I}P_{B_i}(A)P(B_i).

Cas particulier : P(A)=P_B(A)P(B)+P_{\overline B}(A)P(\overline B)\quad \mathrm {si} \quad 0<P(B)<1.

Formule de Bayes

Si (B_i)_{i\in I} est un système complet d'événements :

P_A(B_k)=\dfrac{P_{B_k}(A)P(B_k)}{\sum_{i\in I}P_{B_i}(A)P(B_i)}.

Indépendance de deux événements

A et B sont indépendants si P(A\cap B)=P(A)P(B).

Alors A et \overline B, \overline A et B, \overline A et \overline B sont aussi indépendants.

Deux tribus \mathcal A et \mathcal B sont indépendantes si tout élément de \mathcal A est indépendant de tout élément de \mathcal B :

\forall{(A,B)\in\mathcal A\times\mathcal B}\quad P(A\cap B)=P(A)P(B).

Indépendance de plusieurs événements

Soit (A_i)_{i\in I} une famille d’événements avec I fini ou dénombrable.

Les événements A_i sont deux à deux indépendants si pour tous i\neq j, A_i et A_j sont indépendants.

Les événements A_i sont mutuellement indépendants si pour toute partie finie J de I, on a : P\left(\bigcap_{i\in J}A_i\right)=\prod_{i\in J}P(A_i).

Alors les événements B_i avec B_i=A_i ou B_i=\overline{A_i} sont indépendants.

L’indépendance mutuelle entraîne l’indépendance deux à deux mais la réciproque est fausse.


--CatherineLaidebeure 23 juillet 2010 à 08:29 (CEST)