Ensemble des réels

Un article de Wiki SILLAGES.

Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Majorants d’une partie
2 Borne supérieure
3 Minorants d’une partie
4 Borne inférieure
5 Propriété fondamentale de l’ensemble des réels
6 Partie entière d’un réel

Majorants d’une partie

Un réel $M$ est majorant d’une partie $A$ de $\mathbb R$ si : $\forall {x\in A}\quad x\leq M$ .

Tout réel plus grand que $M$ est aussi un majorant de $A$ .

Si $M\in A$ , alors $M$ est le plus grand élément de $A$ , noté Max $(A)$ .

Borne supérieure

La borne supérieure de $A$ est le plus petit des majorants de $A$ (s’il existe) :

$M=$ Sup $(A)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \forall{x\in A} & x\leq M \\ \forall{\epsilon >0} & \exists{x\in A}\quad M-\epsilon <x\leq M \\ \end{array} \right$

$M$ est majorant, mais, pour tout $\epsilon >0$ , $M-\epsilon$ n’est pas majorant

Minorants d’une partie

Un réel $m$ est majorant d’une partie $A$ de $\mathbb R$ si : $\forall {x\in A}$ , $x\geq m$ .

Tout réel plus petit que $m$ est aussi un minorant de $A$ .

Si $m\in A$ , alors $m$ est le plus petit élément de $A$ , noté Min $(A)$ .

Borne inférieure

La borne inférieure de $A$ est le plus grand des minorants de $A$ (s’il existe) :

$m=$ Inf $(A)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \forall{x\in A} & m\leq x \\ \forall{\epsilon>0} & \exists{x\in A}\quad m\leq x<m+\epsilon \\ \end{array} \right$