Développements limités

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Développement limité en 0
2 Développement limité en a
3 Développement limité à l’infini
4 Propriétés
5 Condition suffisante (non nécessaire) d’existence
6 Recherche d’une tangente en un point
7 Recherche d’une asymptote
8 Développements limités usuels en 0
9 Opérations algébriques
10 Composition

Développement limité en 0

Soit $n\in\mathbb N$ et $I$ un intervalle contenant 0 et non réduit à 0.

Une fonction $f$ définie sur $D=I$ ou $D=I-\{0\}$ admet en 0 un développement limité d’ordre $n$ (on note $DL_n(0)$ ) s’il existe un polynôme $P_n$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que : $\forall x\in D\quad f(x)=P_n(x)+x^n\epsilon(x)$ avec $\lim_{x\rightarrow 0}\epsilon(x)=0$ .

C'est équivalent à : $f(x)=P_n(x)+o(x^n)$ au voisinage de 0.

Le polynôme $P_n$ est la partie régulière du $DL_n(0)$ .

Développement limité en a

Méthode de calcul : On effectue un changement de variable en posant : $h=x-a$ . On se ramène à la recherche de l’existence d’un $DL_n(0)$ de la fonction $g$ définie par $g(h)=f(a+h)$ .

La fonction $f$ admet en $a$ un $DL_n(a)$ s’il existe un polynôme $P_n$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que :

$\forall x\in D\quad f(x)=P_n(x-a)+o\left((x-a)^n)\right$ .

Le polynôme $x\mapsto P_n(x-a)$ est la partie régulière du $DL_n(a)$ .

Développement limité à l’infini

Méthode de calcul : On effectue un changement de variable en posant : $h=\dfrac{1}{x}$ . On est donc ramené à la recherche de l’existence d’un $DL_n(0)$ de la fonction $g$ définie par $g(h)=f\left(\dfrac{1}{h}\right)$ .

La fonction $f$ admet à l'infini un $DL_n(\infty)$ s’il existe un polynôme $P_n$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que :

$\forall x\in D\quad f(x)=P_n\left(\dfrac{1}{x}\right)+o\left(\left(\dfrac{1}{x}\right)^n\right)$ .

Parfois, l'étude conduit à des termes qui sont des puissances positives de $x=\dfrac{1}{h}$ . On parle alors de développement asymptotique à l'infini.

Propriétés

Si $f$ admet un $DL_n(a)$ , il est unique.

Si $f$ admet un $DL_n(a)$ , elle admet des développements limités d’ordre $q\leq n$ et $P_q$ est obtenu en tronquant $P_n$ à l’ordre $q$ (on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à $q$ ).

Si $f$ est paire (impaire) et si $f$ admet un $DL_n(0)$ , alors le polynôme $P_n$ est pair (impair).

Si $f$ est définie en $a$ , elle admet un $DL_0(a)$ si et seulement si elle est continue en $a$ . Si $f$ n’est pas définie en $a$ , elle admet un $DL_0(a)$ si et seulement si elle est prolongeable par continuité en $a$ .

Si $f$ est définie en a, elle admet un $DL_1(a)$ si et seulement si elle est dérivable en $a$ . Si $f$ n’est pas définie en $a$ , elle admet un $DL_1(a)$ si et seulement si son prolongement par continuité est dérivable en $a$ .

Si $f$ admet un $DL_n(a)$ et si la partie régulière $P_n$ n’est pas le polynôme nul, alors : $f(x)\underset a\sim P_n(x-a)$ .

Condition suffisante (non nécessaire) d’existence

Si $f$ est une fonction de classe $C^n$ sur un intervalle $I$ contenant $a$ , elle admet un $DL_n(a)$ : $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o\left((x-a)^n\right)$ .

Recherche d’une tangente en un point

Si la fonction $f$ admet un $DL_1(a)$ , alors l’équation de la tangente au point d’abscisse $a$ est : $y=P_1(x-a)$ . La position par rapport à la tangente est donnée par le premier terme suivant non nul du DL de $f$ en $a$ .

Recherche d’une asymptote

On cherche un DL de $f$ à l’infini. Si $f(x)=ax+b+\phi(x)$ avec $\lim_{x\rightarrow\infty}\phi(x)=0$ , la courbe de $f$ admet une asymptote oblique d’équation $y=ax+b$ . La position par rapport à l’asymptote est donnée par le premier terme non nul du DL à l’infini de $\phi$ .

Développements limités usuels en 0

$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+o(x^n)$

$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)$

$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+...+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)$

$(1+x)^\alpha=1+\dfrac{\alpha}{1!}x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\dfrac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+...+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$

$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+...+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

Opérations algébriques

Si $f$ et $g$ admettent des $DL_n(a)$ de parties régulières $P_n$ et $Q_n$ :

si $\alpha$ et $\beta$ sont réels, alors $\alpha f+\beta g$ admet $DL_n(a)$ dont la partie régulière est $\alpha P_n+\beta Q_n$ .

$fg$ admet $DL_n(a)$ dont la partie régulière est obtenue en tronquant $P_nQ_n$ à l’ordre $n$ .

$\dfrac{f}{g}$ admet un $DL_n(a)$ si $Q_n(a)\neq 0$ . Pour l’obtenir, dans le $DL_n(a)$ de $g$ , on met en facteur $Q_n(a)$ , ce qui permet d’écrire $\dfrac{f}{g}=\dfrac{f}{Q_n(a)}\times\dfrac{1}{1-u}$ avec $\lim_{x\rightarrow a}u=0$ . Si $Q_n(a)=0$ , on se ramène au cas précédent en factorisant par des puissances de $(x-a)$ , mais l’ordre obtenu ne sera pas $n$ .

Composition

Si $f$ admet un $DL_n(a)$ , si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ et si $g$ admet un $DL_n(b)$ , alors $g\circ f$ admet un $DL_n(a)$ dont la partie régulière est la troncature d'ordre $n$ de $Q_n\circ P_n$ (composée des parties régulières de $g$ et de $f$ ).