Convexité

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Ensemble convexe

Une partie $D$ du plan est convexe si pour tous points $A$ et $B$ de $D$ , le segment $[A,B]$ est contenu dans $D$ , c’est-à-dire que pour tout $t\in[0,1]$ , le barycentre de $(A,t)$ et $(B,1-t)$ appartient à $D$ .

Fonction convexe

Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si :

$\forall{(a,b)\in I^2}\quad\forall{t\in[0,1]}\quad f[ta+(1-t)b]\leq tf(a)+(1-t)f(b)$

Sa courbe est en dessous de ses cordes.

Fonction concave

Une fonction $f$ est concave sur un intervalle $I$ si :

$\forall{(a,b)\in I^2}\quad\forall{t\in[0,1]}\quad f[ta+(1-t)b]\geq tf(a)+(1-t)f(b)$

Sa courbe est en dessus de ses cordes.

La fonction $f$ est concave sur $I$ si la fonction $(-f)$ est convexe sur $I$ .

Cas des fonctions dérivables une fois

Une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est convexe si et seulement si sa dérivée $f'$ est croissante.

C’est équivalent à dire que sa courbe est au dessus de ses tangentes.

Une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est concave si et seulement si sa dérivée $f'$ est décroissante.

C’est équivalent à dire que sa courbe est en dessous de ses tangentes.

Cas des fonctions dérivables deux fois

Une fonction $f$ dérivable deux fois sur un intervalle $I$ est convexe si et seulement si : $\forall{x\in I}\quad f''(x)\geq 0$ .

Une fonction $f$ dérivable deux fois sur un intervalle $I$ est concave si et seulement si : $\forall{x\in I}\quad f''(x)\leq 0$ .

Point d’inflexion

Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.

Si $f$ est dérivable deux fois sur l’intervalle $I$ , le point $A$ d’abscisse $a$ est un point d’inflexion de la courbe si et seulement si la dérivée $f''$ s’annule en $a$ en changeant de signe.