Convergences et approximations

Un article de Wiki SILLAGES.

Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Inégalité de Markov
2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
3 Convergence en probabilité
4 Loi faible des grands nombres
5 Convergence en loi
6 Approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale
7 Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Inégalité de Markov

Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs positives ou nulles, qui possède une espérance $E(X)=m$ , alors $\forall a\geq 0\quad P(X\geq a)\leq\dfrac{m}{a}$ .

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Si $X$ est une variable aléatoire qui possède une espérance $E(X)=m$ et un écart-type $\sigma(X)=\sigma$ , alors $\forall\epsilon>0\quad P(|X-m|\geq\epsilon)\leq\dfrac{{\sigma}^2}{{\epsilon}^2}$ .

Convergence en probabilité

La suite de variables aléatoires $(X_n)$ converge en probabilité vers une variable aléatoire $X$ si : $\forall\epsilon>0\quad\lim_{n\rightarrow +\infty}P(|X_n-X|\geq\epsilon)=0$ .

Loi faible des grands nombres

Si $(X_n)$ est une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma$ , alors la suite $\left(\dfrac{X_1+...+X_n}{n}\right)$ converge en probabilité vers une variable certaine égale à $m$ : $\forall\epsilon>0\quad\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(\left|\dfrac{X_1+...+X_n}{n}-m\right|\geq\epsilon\right)=0$ .

Conséquence : Si l’on répète $n$ fois de manière indépendante une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’une issue $\omega$ tend vers la probabilité $P(\{\omega\})$ quand $n$ tend vers l’infini.

Convergence en loi

La suite de variables aléatoires discrètes $(X_n)$ de fonctions de répartition $F_n$ converge en loi vers une variable aléatoire $X$ de fonction de répartition $F$ si : $\forall x\in\mathbb R\quad\lim_{n\rightarrow +\infty}F_n(x)=F(x)$ .

Si $\forall n\in\mathbb N\quad X_n(\Omega)=X(\Omega)$ , alors $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si et seulement si : $\forall x\in X(\Omega)\quad\lim_{n\rightarrow +\infty}P(X_n=x)=P(X=x)$ .

Approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale

Note : au sujet des lois hypergéométrique et binomiale, on pourra consulter les lois discrètes finies.

Si $(X_N)$ est une suite de variables aléatoires telles que, pour tout entier $N$ , $(X_N)$ suive la loi hypergéométrique $\mathcal H(N,n,p)$ , alors la suite $(X_N)$ converge en loi vers une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ quand $N$ tend vers l’infini.

Conséquence : Si $X\hookrightarrow\mathcal H(N,n,p)$ avec $n\leq 0,1N$ , alors la loi de $X$ peut être approchée par la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ :

$\forall k\in[\![0,n]\!]\quad P(X=k)\approx\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Note : au sujet des lois binomiale et de Poisson, on pourra consulter les lois discrètes finies et les lois discrètes infinies.

Si $(X_n)$ est une suite de variables aléatoires telles que, pour tout entier $n$ , $(X_n)$ suive la loi binomiale $\mathcal B(n,\dfrac{\lambda}{n})$ , alors la suite $(X_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire $X$ qui suit la loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ quand $n$ tend vers l’infini.

Conséquence : Si $X\hookrightarrow\mathcal B(n,p)$ avec $n\geq 30,np<15\;\mathrm{et}\; p\leq 0,1$ , alors la loi de $X$ peut être approchée par la loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ de paramètre $\lambda=np$ :