Continuité

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Continuité en un point
2 Prolongement par continuité en un point
3 Continuité sur un intervalle
4 Opérations
5 Fonctions usuelles
6 Image d’un intervalle
7 Théorème des valeurs intermédiaires
8 Fonction continue sur un segment [a,b]
9 Fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
10 Théorème de bijection

Continuité en un point

La fonction $f$ doit être définie en $a$ et au voisinage de $a$ .

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ , c'est-à-dire si : $\forall{\epsilon>0}\quad\exists{\alpha>0}\quad\forall{x\in D_f\quad }|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\epsilon$

$f$ est continue à gauche ou à droite de $a$ s’il n’y a égalité qu’avec la limite à gauche ou à droite.

Prolongement par continuité en un point

Une fonction $f$ définie au voisinage de $a$ , mais pas en $a$ est prolongeable par continuité en $a$ si elle admet une limite réelle $l$ en $a$ . Son prolongement est la fonction $\tilde f$ continue en $a$ qui est définie par : $\forall{x\in D_f\quad\tilde f(x)=f(x)\quad\matrm{et}\quad\tilde f(a)=l}$ .

Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur un intervalle $I$ si $f$ est continue en tout point de l’intervalle $I$ .

Si $I=[a,b]$ , $f$ doit être continue en tout point de $]a,b[$ , continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$ .

Opérations

Si $u$ est continue sur un intervalle $I$ et si $k$ est une constante, alors $ku$ est continue sur l’intervalle $I$ .

Si $u$ et $v$ sont continues sur un intervalle $I$ , alors $u+v$ et $uv$ sont continues sur l’intervalle $I$ .

Si $u$ et $v$ sont continues sur un intervalle $I$ , alors $\dfrac{u}{v}$ est continue sur l’intervalle $I$ privé des points où $v$ s’annule.

Si $u$ est continue sur un intervalle $I$ et si $v$ est continue sur l’image $u(I)$ , alors $v\circ u$ est continue sur l’intervalle $I$ .

Fonctions usuelles

Les fonctions polynômes, rationnelles, logarithme, exponentielles, puissances, trigonométriques sont continues sur leur ensemble de définition ainsi que la fonction $x\mapsto|x|$ .

La fonction $x\mapsto\mathrm{Ent}(x)=\lfloor x\rfloor$ est continue sur $\mathbb{R-Z}$ , mais pas sur $\mathbb Z$ .

Image d’un intervalle

$f(I)=\{f(x)/x\in I\}$

Donc l’équation $f(x)=m$ admet des solutions dans $I$ (pas forcément une unique solution) si et seulement si $m\in f(I)$ .

Théorème des valeurs intermédiaires

L’image d’un intervalle $I$ par une fonction continue $f$ est un intervalle (pas forcément de même nature).

Conséquence : Si $f$ est continue sur l’intervalle $I$ et si $f$ prend deux valeurs distinctes, elle prend au moins une fois toutes les valeurs intermédiaires. En particulier, si elle prend une valeur positive et une valeur négative, elle s’annule au moins une fois sur $I$ .

Fonction continue sur un segment [a,b]

L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

Conséquence : Si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$ , elle est bornée, possède un minimum $m=\underset{t\in[a,b]}{\mathrm{}Inf}f(t)$ et un maximum $M=\underset{t\in[a,b]}{\mathrm{}Sup}f(t)$ qu’elle atteint (il existe $c\in[a,b]$ et $d\in[a,b]$ tels que $m=f(c)$ et $M=f(d)$ ), et elle prend au moins une fois toute valeur comprise entre $m$ et $M$ .

Fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , $f(I)$ est un intervalle de même nature (ouvert ou fermé) que $I$ , obtenu en prenant les valeurs de $f$ ou les limites de $f$ aux bornes de $I$ (il faut intervertir les bornes si $f$ est décroissante).

Théorème de bijection

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , $f$ définit une bijection de $I$ dans $f(I)$ . Sa fonction réciproque $f^{-1}$ est continue et strictement monotone (de même sens que $f$ ) sur $f(I)$ .