Comparaison locale des fonctions

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Négligeabilité
2 Propriétés de la négligeabilité au voisinage de a
3 Négligeabilités usuelles
4 Equivalence
5 Propriétés de l’équivalence au voisinage de a
6 Equivalences usuelles

Négligeabilité

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a\in\overline{\mathbb R}$ .

$f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$ , noté $f\underset a=o(g)$ , s’il existe un voisinage $V$ de $a$ et une fonction $\epsilon$ définie sur $V$ qui vérifie :

$\forall{x\in V}\quad f(x)=\epsilon(x)g(x)\quad\mathrm{et}\quad\lim_{x\rightarrow a}\epsilon(x)=0$ .

Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ , $f\underset a=o(g)$ si et seulement si $\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$ .

Propriétés de la négligeabilité au voisinage de a

Si $f\underset a=o(g)$ et si $g\underset a=o(h)$ , alors $f\underset a=o(h)$ .

$\left. \begin{array}{ll} f_1\underset a=o(g) \\ f_2\underset a=o(g) \\ \end{array} \right\}\Rightarrow {f_1+f_2}\underset a=o(g)$ .

$\left. \begin{array}{ll} f_1\underset a=o(g_1) \\ f_2\underset a=o(g_2) \\ \end{array} \right\}\Rightarrow {f_1f_2}\underset a=o(g_1g_2)$ .

Si $f\underset a=o(g)$ , alors $|f|^\alpha\underset a=o(|g|^\alpha)$ si $\alpha>0$ .

Mais la relation n’est compatible ni avec la composition, ni avec la division.

Négligeabilités usuelles

En $+\infty$	$x^\alpha\underset{+\infty}=o(x^\beta)\quad\matrm{si}\quad 0\leq\alpha<\beta$
	${(\ln x)}^\alpha\underset{+\infty}=o(x^\beta)\quad\matrm{si}\quad\alpha>0\quad\matrm{et}\quad\beta>0$
	$x^\alpha\underset{+\infty}=o(e^{\beta x})\quad\matrm{si}\quad\alpha>0\quad\matrm{et}\quad\beta>0$
En 0	$x^\alpha\underset{0}=o(x^\beta)\quad\matrm{si}\quad 0\leq\beta<\alpha$
En 0	${(\ln x)}^\alpha\underset{0}=o\left(\dfrac{1}{x^\beta}\right)\quad\matrm{si}\quad\alpha>0\quad\matrm{et}\quad\beta>0$
En $-\infty$	$e^{\alpha x}\underset{-\infty}=o\left(\dfrac{1}{\|x\|^\beta}\right)\quad\matrm{si}\quad\alpha>0\quad\matrm{et}\quad\beta>0$

Equivalence

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a\in\overline{\mathbb R}$ .

$f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$ , noté $f\underset a\sim g$ , s’il existe un voisinage $V$ de $a$ et une fonction $\epsilon$ définie sur $V$ qui vérifie :

$\forall{x\in V}\quad f(x)=[1+\epsilon(x)]g(x)\quad\mathrm{et}\quad\lim_{x\rightarrow a}\epsilon(x)=0$ .

Donc $f\underset a\sim g$ si et seulement si $f-g\underset a=o(g)$ .

Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ , $f\underset a\sim g$ si et seulement si $\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$ .

Si $f\underset a\sim g$ et si $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=l$ , alors $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l$ (avec $l\in\overline{\mathbb R}$ ).

Si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=l$ (réel non nul), alors $f\underset a\sim g$ .

Propriétés de l’équivalence au voisinage de a

Si $f\underset a\sim g$ , alors $g\underset a\sim f$ .

Si $f\underset a\sim g$ et si $g\underset a\sim h$ , alors $f\underset a\sim h$ .

Si $\left\{ \begin{array}{ll} f_1\underset a\sim g_1 \\ f_2\underset a\sim g_2 \\ \end{array} \right.$ alors $f_1f_2\underset a\sim g_1g_2$ et $\dfrac{f_1}{f_2}\underset a\sim \dfrac{g_1}{g_2}$ (s'ils sont définis).

Si $f\underset a\sim g$ , alors $|f|^\alpha\underset a\sim |g|^\alpha$ pour tout $\alpha$ .

Mais la relation n’est compatible ni avec la composition, ni avec l’addition.

Equivalences usuelles

En $\pm\infty$	$\mathrm{Polyn\hat{o}me}\underset{\infty}\sim \mathrm{Terme\;de\;plus\;haut\;degr\acute{e}}$
	$\mathrm{Fraction\;rationnelle}\underset{\infty}\sim \mathrm{Quotient\;des\;termes\;de\;plus\;haut\;degr\acute{e}}$
En 0	$\ln(1+x)\underset 0\sim x$	$e^x-1\underset 0\sim x$	$(1+x)^\alpha-1\underset 0\sim\alpha x$
	$\sin x\underset 0\sim x$	$\tan x\underset 0\sim x$	$1-\cos x\underset 0\sim\dfrac{x^2}{2}$
	$\mathrm{Polyn\hat{o}me}\underset 0\sim \mathrm{Terme\;de\;plus\;bas\;degr\acute{e}}$
	$\mathrm{Fraction\;rationnelle}\underset 0\sim \mathrm{Quotient\;des\;termes\;de\;plus\;bas\;degr\acute{e}}$
En 1	$\ln x\underset 1\sim x-1$