Changement de base

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

On pourra consulter préalablement l'article sur les matrices.

Matrice d’un vecteur

Dans un espace vectoriel $E$ de base $\mathcal B=(e_1,...e_n)$ , à tout vecteur $u=\sum_{i=1}^{n}x_ie_i$ , on associe la matrice colonne $U=\begin{pmatrix} x_1 \\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix}$ .

Réciproquement, toute matrice de $\mathcal M_{n,1}(K)$ peut être interprétée comme matrice d’un vecteur $u$ de $E$ dans la base $\mathcal B$ .

Matrice d’une famille de vecteurs

Dans un espace vectoriel $E$ de base $\mathcal B=(e_1,...e_n)$ , la matrice de la famille de vecteurs $(u_1,...,u_p)$ est la matrice de $\mathcal M_{n,p}(K)$ dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs $u_1,...,u_p$ dans la base $\mathcal B$ .

Réciproquement, toute matrice de $\mathcal M_{n,p}(K)$ peut être interprétée comme matrice d’une famille de vecteurs $(u_1,...,u_p)$ de $E$ dans la base $\mathcal B$ .

Matrice d’une base

Dans un espace vectoriel $E$ de base $\mathcal B=(e_1,...e_n)$ , une famille de $n$ vecteurs est une base si et seulement si sa matrice est inversible.

Changement de base

Si un espace vectoriel $E$ possède deux bases $\mathcal B=(e_1,...e_n)$ et $\mathcal B'=(e'_1,...e'_n)$ , on appelle matrice de passage de la base $\mathcal B$ à la base $\mathcal B'$ la matrice carrée $P$ de la famille de vecteurs $(e'_1,...e'_n)$ dans la base $\mathcal B$ .

Toute matrice de passage est inversible. Réciproquement, toute matrice carrée inversible peut s’interpréter comme une matrice de passage.

Si un vecteur $u$ a pour matrice $X$ dans $\mathcal B$ et $X'$ dans $\mathcal B'$ , alors : $X=PX'$ .

Si $f$ est un endomorphisme de matrice $A$ dans $\mathcal B$ et de matrice $A'$ dans $\mathcal B'$ , alors : $A'=P^{-1}AP$ .

Matrices semblables

Deux matrices $A$ et $A'$ de $\mathcal M_n(K)$ sont semblables s’il existe une matrice $P$ de $\mathcal M_n(K)$ inversible telle que : $A'=P^{-1}AP$ .