Calcul algébrique

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Fractions

$\dfrac{a}{b}$ est défini si et seulement si $b\not=0$

$\dfrac{a}{b}=0\Leftrightarrow a=0$

$\mathrm{Sgn}\left(\dfrac{a}{b}\right)=\mathrm{Sgn}(ab)$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$

$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$

$\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bc}$

$\dfrac{a}{b}\times c=\dfrac{ac}{b}$

$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}=\dfrac{a}{bc}$

$\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{ac}{b}$

Puissances

$a^0=1$

$a^n=a\times ...a\times a$ ( $n$ fois) si $n\in\mathbb{N}^*$

$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$

$a^b=e^{b\ln a}$ si $a>0$

$a^b\times a^c=a^{b+c}$

$\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$

$(a^b)^c=a^{bc}$

$a^c\times b^c=(ab)^c$

$\dfrac{a^c}{b^c}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^c$

Inégalités

Pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe de leur différence : $a<b\Leftrightarrow b-a>0$

$a<b$ et $b<c\Rightarrow a<c$ (on note $a<b<c$ )

$a<b$ et $a'<b'\Rightarrow a+a'<b+b'$

$0<a<b$ et $0<a'<b'\Rightarrow 0<aa'<bb'$

$a<b\Rightarrow a+c<b+c$

$a<b\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} ac<bc & \quad \mathrm{si}\quad c>0 \\ ac>bc & \quad \mathrm{si}\quad c<0 \\ \end{array} \right$

Racines carrées

$\sqrt a$ est l'unique solution positive de l'équation $x^2=a$

$\sqrt a$ est défini si et seulement si $a\geq 0$

$\sqrt a\geq 0$

$\left(\sqrt a\right)^2=a$

$\sqrt {a^2}=|a|$

$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ si $a\geq 0$ et $b\geq 0$

$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ si $a\geq 0$ et $b>0$

$\sqrt{a+b}\leq\sqrt a+\sqrt b$ mais en général $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$

$0\leq a\leq b\Leftrightarrow\sqrt a\leq\sqrt b$

Si $a\geq 0$ : $\sqrt a=b\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} b\geq 0 \\ a=b^2 \\ \end{array} \right$

Si $a\geq 0$ : $\sqrt a<b\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} b\geq 0 \\ a<b^2 \\ \end{array} \right$

Si $a\geq 0$ : $\sqrt a>b\Leftrightarrow b<0$ ou $\left\{ \begin{array}{ll} b\geq 0 \\ a>b^2 \\ \end{array} \right$

Valeurs absolues

$|a|=\left\{ \begin{array}{ll} a & \quad \mathrm{si}\quad a\geq 0 \\ -a & \quad \mathrm{si}\quad a<0 \\ \end{array} \right$

donc $\left\{ \begin{array}{ll} -|a|\leq a\leq|a| \\ |a|=\mathrm Max(a,-a) \\ \end{array}$ et $|0|=0$

$|a|\geq 0$

$|a|=\sqrt{a^2}$ pour tout $a$ réel

$|ab|=|a||b|$

$|\dfrac{a}{b}|=\dfrac{|a|}{|b|}$ si $b\neq 0$

$|a+b|\leq|a|+|b|$ mais en général $|a+b|\neq|a|+|b|$

$0\leq a\leq b\Rightarrow |a|\leq |b|$ mais $a\leq b\leq 0\Rightarrow |b|\leq |a|$

Si $b\geq 0$ : $\left\{ \begin{array}{ll} |a|=b\Leftrightarrow a=b\quad\mathrm{ou}\quad a=-b \\ |a|<b\Leftrightarrow -b<a<b \\ |a|>b\Leftrightarrow a<-b\quad\mathrm{ou}\quad a>b \\ \end{array} \right$