Applications linéaires

Un article de Wiki SILLAGES.

Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Définition
2 Opérations sur les applications linéaires
3 Propriétés
4 Noyau d’une application linéaire
5 Image d’une application linéaire
6 Image d’une famille de vecteurs
7 Forme linéaire
8 Projection
9 Projecteur
10 Symétrie
11 Involution
12 Théorème du rang (dimensions finies)
13 Matrice d’une application linéaire en dimension finie
14 Opérations sur les matrices

Définition

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels. Une application $f$ de $E$ dans $F$ est linéaire (ou est un homomorphisme) si : $\forall\alpha\in K\quad\forall(u,v)\in E^2\quad f(\alpha u+v)=\alpha f(u)+f(v)$

Un endomorphisme de $E$ est une application linéaire de $E$ dans $E$ .

Un isomorphisme de $E$ dans $F$ est une application linéaire bijective de $E$ dans $F$ .

Un automorphisme de $E$ est un endomorphisme bijectif de $E$ .

Opérations sur les applications linéaires

La somme de deux applications linéaires est linéaire.

Le produit d’une application linéaire par un scalaire est linéaire.

L’ensemble $\mathcal L(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$ et l’ensemble $\mathcal L(E)$ des endomorphismes de $E$ munis de ces deux opérations sont des espaces vectoriels.

La composée de deux applications linéaires est linéaire.

La réciproque d’une application linéaire bijective est linéaire.

L’ensemble $GL(E)$ des automorphismes de $E$ est un groupe.

Propriétés

Si $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$ :

L’image du vecteur nul $0_E$ de $E$ est le vecteur nul $0_F$ de $F$ : $f(0_E)=0_F$ .

L’image d’une combinaison linéaire de vecteurs de $E$ est la combinaison linéaire de leurs images affectées des mêmes coefficients : $f\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_iu_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_if(u_i)$ .

Si $E'$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , son image $f(E')=\{v\in F/\exists u\in E'\quad v=f(u)\}$ est un sous-espace vectoriel de $F$ .

Si $F'$ est un sous-espace vectoriel de $F$ , son image réciproque $f^{-1}(F')=\{u\in E/f(u)\in F'\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Noyau d’une application linéaire

Le noyau d'une application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est : $\mathrm{Ker}f=f^{-1}(\{0_F\})=\{u\in E/f(u)=0_F\}$ .

C’est un sous-espace vectoriel de $E$ .

L’application $f$ est injective si et seulement si : $\mathrm{Ker}f=\{0_E\}$ .

Image d’une application linéaire

Le noyau d'une application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est : $\mathrm{Im}f=f(E)=\{v\in F/\exists u\in E\quad v=f(u)\}$ .

C’est un sous-espace vectoriel de $F$ .

L’application $f$ est surjective si et seulement si : $\mathrm{Im}f=F$ .

Image d’une famille de vecteurs

Si $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$ :

L’image d’une famille liée de $E$ est une famille liée de $F$ .

Si $f$ est injective, l’image d’une famille libre de $E$ est une famille libre de $F$ .

L’image d’une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel $E'$ de $E$ est une famille génératrice du sous-espace vectoriel $f(E')$ de $F$ .

Si $f$ est injective, l’image d’une base d’un sous-espace vectoriel $E'$ de $E$ est une base du sous-espace vectoriel $f(E')$ de $F$ .

Forme linéaire

Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire de $E$ dans $K$ .

Si $\dim E=n$ , le noyau d’une forme linéaire non nulle sur $E$ est un hyperplan (sous-espace vectoriel de dimension $n-1$ ).

Projection

Si $E_1$ et $E_2$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$ , alors : $\forall u\in E\quad u=u_1+u_2\quad\mathrm{avec}\quad\left\{ \begin{array}{ll} u_1\in E_1 \\ u_2\in E_2 \\ \end{array} \right.$ .

La projection $p$ sur $E_1$ suivant $E_2$ est définie par : $\forall u\in E\quad p(u)=u_1$ .

Propriétés :

C'est un endomorphisme de $E$ .

$p\circ p=p$ .

$\mathrm{Ker}p=E_2$ .

$\mathrm{Im}p=E_1=\{u\in E/p(u)=u\}$ .

Projecteur

Un projecteur de $E$ est un endomorphisme de $E$ tel que : $p\circ p=p$ .

Si $p$ est un projecteur de $E$ , alors :

$\mathrm{Im}p$ et $\mathrm{Ker}p$ sont deux sous-espaces supplémentaires de $E$ .

p est la projection sur $\mathrm{Im}p=\{u\in E/p(u)=u\}$ suivant $\mathrm{Ker}p$ .

Symétrie

La symétrie $s$ par rapport à $E_1$ suivant $E_2$ est définie par : $\forall u\in E\quad s(u)=u_1-u_2$ .

Propriétés :

C'est un automorphisme de $E$ .

$s\circ s=\mathrm{Id}_E$ .

$E_1=\{u\in E/s(u)=u\}$ .

$E_2=\{u\in E/s(u)=-u\}$ .

Involution

Un endomorphisme $s$ est involutif si $s\circ s=\mathrm{Id}_E$ .

Si $s$ est un endomorphisme involutif, alors $\mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id}_E)=\{u\in E/s(u)=u\}$ et $\mathrm{Ker}(s+\mathrm{Id}_E)=\{u\in E/s(u)=-u\}$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$ , et $s$ est la symétrie par rapport à $\mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id}_E)$ suivant $\mathrm{Ker}(s+\mathrm{Id}_E)$ .

Théorème du rang (dimensions finies)

Si $E$ et $F$ sont de dimensions finies, et si $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$ , alors : $\dim E=\dim(\mathrm{Ker}f)+\dim(\mathrm{Im}f)$ .

Conséquences :

Si $f$ est injective : $\dim E\leq\dim F$ .

Si $f$ est surjective : $\dim E\geq\dim F$ .

Si $f$ est bijective (isomorphisme) : $\dim E=\dim F$ .

Si $\dim E=\dim F$ , alors $f$ est bijective si et seulement si $\mathrm{Ker}f=\{0_E\}$ .

Si $\dim E=\dim F$ , alors $f$ est bijective si et seulement si $\mathrm{Im}f=F$ .

Matrice d’une application linéaire en dimension finie

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $p$ , de base $\mathcal B=(e_1,...,e_p)$ et $F$ un espace vectoriel de dimension $n$ , de base $\mathcal B'=(e'_1,...,e'_n)$ .

Si $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$ , on appelle matrice de $f$ la matrice $A$ des vecteurs $f(e_1),...,f(e_p)$ dans la base $\mathcal B'$ .

Si $u$ est un vecteur de $E$ de matrice $X$ dans la base $\mathcal B$ , alors le vecteur $f(u)$ a pour matrice $Y=AX$ dans la base $\mathcal B'$ .

Réciproquement, toute matrice de $\mathcal M_{n,p}(K)$ peut s’interpréter comme matrice d’une application linéaire d'un espace vectoriel $E$ de dimension $p$ dans un espace vectoriel $F$ de dimension $n$ .