Applications

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Application
2 Restriction et prolongement d’une application
3 Image directe
4 Image réciproque
5 Injectivité
6 Surjectivité
7 Bijectivité
8 Composée de deux applications

Application

Une application $f$ d’un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ associe à tout élément $x$ de $E$ un unique élément $y$ de $F$ : on note $y=f(x)$ .

Si $y=f(x)$ , alors $x$ est un antécédent de $y$ , et $y$ est l’image de $x$ .

Restriction et prolongement d’une application

Si $f$ est une application de $E$ dans $F$ et si $A\subset E$ , la restriction de $f$ à $A$ est l’application notée $f_{/A}$ de $A$ dans $F$ qui coïncide avec $f$ pour tout élément de $A$ : $\forall{x\in A\quad f_{/A}(x)=f(x)}$ .

Si $f$ est une application de $E$ dans $F$ et si $E\subset B$ , une application $g$ de $B$ dans $F$ est un prolongement de $f$ à $B$ si $f$ est la restriction de $g$ à $E$ , ( $f=g_{/E}$ ), donc si : $\forall{x\in E\quad g(x)=f(x)}$ .

La restriction est unique, mais pas le prolongement.

Image directe

Si $f$ est une application de $E$ dans $F$ et si $A\subset E$ , on appelle image (directe) de $A$ par $f$ l’ensemble des images des éléments de $A$ :

$f(A)=\{y\in F\quad/\quad\exists x\in A\quad y=f(x)$ }

Propriétés:

Si $A\subset B$ alors $f(A)\subset f(B)$

$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$

$f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ (égalité si f injective)

Image réciproque

Si $f$ est une application de $E$ dans $F$ et si $B\subset F$ , on appelle image réciproque de $B$ par $f$ l’ensemble des antécédents des éléments de $B$ :

$f^{-1}(B)=\{x\in E\quad/\quad f(x)\in B$ }

Propriétés:

Si $A\subset B$ alors $f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)$

$f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$

$f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$

Si $A\subset E$ , alors $A\subset f^{-1}[f(A)]$ (égalité si f injective).

Si $B\subset F$ , alors $f[f^{-1}(B)]\subset B$ (égalité si f surjective).

Injectivité

Une application $f$ de $E$ dans $F$ est injective si tout élément $y\in F$ possède au plus un antécédent dans $E$ .

Pour tout élément $y\in F$ , l’équation $f (x)=y$ possède au plus une solution dans $E$ .

La fonction $f$ est injective si et seulement si pour tous $x_1$ et $x_2$ de $E$ on a : $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ .

Surjectivité

Une application $f$ de $E$ dans $F$ est surjective si tout élément $y\in F$ possède au moins un antécédent dans $E$ .

Pour tout élément $y\in F$ , l’équation $f (x)=y$ possède au moins une solution dans $E$ .

Bijectivité

Une application $f$ de $E$ dans $F$ est bijective si tout élément $y\in F$ possède un unique antécédent dans $E$ .

Pour tout élément $y\in F$ , l’équation $f (x)=y$ possède exactement une solution dans $E$ .

$f$ est bijective de $E$ dans $F$ si et seulement si elle est injective et surjective.

Si $f$ est bijective de $E$ dans $F$ , on lui associe une application réciproque $f^{-1}$ de $F$ dans $E$ qui à tout élément de $F$ associe son unique antécédent : $y=f^{-1}(x)\Leftrightarrow x=f(y)$ .

L’application réciproque $f^{-1}$ est bijective de $F$ dans $E$ .

Composée de deux applications

Si $f$ est une application de $E$ dans $F$ et $g$ une application de $F$ dans $G$ , on appelle composée de $f$ par $g$ l’application de $E$ dans $G$ définie par : $\forall{x\in E\quad (g\circ f)(x)=g[f(x)]}$ .